Die Wirkungsquerschnitte umrechnen

Im vorangegangenen Abschnitt wurde die Verbindung der Winkel θ₁ und θ₂ zu θ aufgezeigt, die Winkel der gestreuten Teilchen im Labor- und im Schwerpunktsystem. Welche Beziehung gilt für den differentiellen Wirkungsquerschnitt – das Zentrum der Zielscheibe für das Streuen von Teilchen in ein bestimmtes Winkelelement – beim Wechsel der Koordinatensysteme?

Das Differential dσ ist infinitesimal klein und bleibt dasselbe in den beiden Systemen. Doch die Winkel, die das Raumelement dΩ ausmachen, verändern sich, wenn man zwischen beiden Systemen wechselt. Im Folgenden wird gezeigt, wie man den differentiellen Wirkungsquerschnitt im Laborsystem

zum differentiellen Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem

in Beziehung setzt.

Im Laborsystem gilt dΩ₁ = sinθ₁ dθ₁ dφ₁. Im Schwerpunktsystem gilt dΩ = sinθ dθ dφ. Da dσ_lab = dσ_sp ist, gilt die folgende Gleichung:

Verbindet man diese Gleichung mit den obigen für das Labor- und Schwerpunktsystem, so erhält man:

Da in diesem Fall zylindrische Symmetrie vorliegt, gilt φ = φ₁. Somit folgt:

Sie haben bereits gesehen, dass

Somit gilt folgende Gleichung:

Daraus folgt:

Sie können genauso zeigen, dass folgende Gleichung gilt: