Auf das Gegenteil vorbereitet sein: Vereinfachung durch unitäre Operatoren

Lässt man das Inverse eines Operators auf diesen wirken, so hebt er dessen Wirkung auf:

Manchmal kann es sehr hilfreich sein, das Inverse eines Operators zu bestimmen, insbesondere wenn man Gleichungen der Form Ax = y lösen will. Diese Gleichung ist für x einfach zu lösen, wenn man das Inverse von A kennt: x = A^–1y.

Da es nicht immer einfach ist, die Inverse einer großen Matrix zu berechnen, muss man bei manchen Rechnungen in der Quantenphysik mit unitären Operatoren U arbeiten. Ein Operator ist unitär, wenn sein Inverses die Adjungierte ist: U^–1 = U^†. (Um die Adjungierte eines Operators A zu bestimmen, berechnet man zunächst seine Transponierte A^T, indem man die Zeilen zu Spalten macht. Anschließend nimmt man davon die komplex Konjugierte A^T* = A^†.) Somit erhält man die folgende Gleichung:

Das Produkt zweier unitärer Operatoren U und V ist ebenfalls unitär:

Wenn man unitäre Operatoren benutzt, ändern sich die Bra- und Ket-Vektoren wie folgt:

Mithilfe unitärer Operatoren kann man andere Operatoren wie folgt umformen:

Beachten Sie, dass die obigen Gleichungen auch folgendes beinhalten:

Hier folgen einige Eigenschaften unitärer Umformungen:

Ist ein Operator A hermitesch, dann ist die unitär Transformierte A′ = UAU^† ebenfalls hermitesch.

Die Eigenwerte eines Operators A und seiner unitär transformierten A′ = UAU^† sind identisch.

Kommutatoren, die aus komplexen Zahlen bestehen, bleiben bei unitären Umformungen unverändert: [A′,B′] = [A,B].