Die Normalisierung der Wellenfunktion

Okay, Sie haben also folgende Wellenfunktion für ein Teilchen in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf:

Bei der Wellenfunktion handelt es sich um eine Sinus-Welle, die bei x = 0 und x = a den Wert 0 annimmt. Die ersten beiden Wellenfunktionen sind in Abbildung 4.3 dargestellt.

 

Abbildung 4.3: Wellenfunktionen in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf

Das Normieren der Wellenfunktion erlaubt die Lösung für die unbekannte Konstante A. In einer normierten Funktion summieren sich die Wahrscheinlichkeiten |ψ(x)|²dx, ein Teilchen zwischen x und dx zu finden, zu 1, wenn man über den gesamten Potentialtopf von x = 0 bis x = a integriert:

Setzt man ψ(x) ein, erhält man:

Das Integral in dieser Gleichung ist gleich:

Damit ergibt sich für die obige Gleichung:

Somit ergibt sich für die Lösung von A:

Die normierte Wellenfunktion mit dem für A eingesetzten Wert lautet also:

Das ist die normierte Wellenfunktion für ein Teilchen in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf.