Die Eigenfunktionen von L_z in Kugelkoordinaten

Zunächst sollen die Eigenfunktionen von L_z in sphärischen Koordinaten berechnet werden. Der Operator L_z hat in sphärischen Koordinaten folgendes Aussehen:

Somit folgt für

Das ist dasselbe wie:

Und weil kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:

Wenn man auf beiden Seiten kürzt, erhält man folgende Differentialgleichung:

Das sieht einfach aus, und die Lösung ist gerade:

wobei C eine Integrationskonstante ist.

Man kann C bestimmen, wenn man darauf besteht, dass normalisiert ist. Das bedeutet, dass das Folgende gilt:

Daraus erhält man:

Somit gilt für

Sie machen Fortschritte – Sie sind nun in der Lage, einen Ausdruck für zu finden, sodass für Folgendes gilt:

Das ist großartig – Sie haben die Hälfte geschafft. Sie müssen jetzt nur noch den Ausdruck für bestimmen, der Eigenfunktion von L². Das folgt im nächsten Abschnitt.