6

Arbeiten mit dem Drehimpuls auf Quantenniveau

Sie kennen den Drehimpuls aus der klassischen Physik, wo er eine ähnlich wichtige Rolle wie die Energie oder der Impuls spielt. Darüber hinaus ist er wie diese eine Erhaltungsgröße.

Natürlich haben Sie Recht, wenn Sie jetzt vermuten, dass der Drehimpuls auch in der Quantenphysik eine zentrale Stellung einnimmt. Der Drehimpulsoperator ist sowohl in der Atom- und Molekülphysik als auch bei der Behandlung anderer quantenmechanischer Probleme mit Rotationssymmetrie eine grundlegende Größe. Wie sich in diesem Kapitel zeigen wird, ist der Drehimpuls eine quantisierte Größe, die nur ganz- oder halbzahlige Vielfache des Planckschen Wirkungsquantums annehmen kann. Neben dem Bahndrehimpulsoperator L, der das quantenmechanische Analogon zum klassischen Drehimpuls ist, gibt es noch den Spinoperator S, der ebenfalls ein Drehimpulsoperator ist, aber kein klassisches Gegenstück besitzt. Der Spinoperator wird in Kapitel 7 behandelt.

Dieses Kapitel besteht aus zwei Teilen. Die Ergebnisse, die im ersten Teil hergeleitet werden, beruhen nur auf den algebraischen Eigenschaften des Drehimpulses (wie den Vertauschungsrelationen, die in den folgenden Abschnitten hergeleitet werden). Das hat den großen Vorteil, dass sie somit nicht nur für den Bahndrehimpuls, sondern für jeden Drehimpuls (wie den Spin oder den Gesamtdrehimpuls) gelten. Nachdem Sie im vorangegangenen Kapitel die Erfahrung gemacht haben, dass sich das Energiespektrum des harmonischen Oszillators einfach und elegant mithilfe von Leiteroperatoren herleiten lässt, wird dieser Ansatz in diesem Kapitel weiter verfolgt. Das bedeutet, dass man in diesem Fall den Erzeugungs-operator L₊ und den Vernichtungsoperator L_- definiert und mit ihrer Hilfe die Eigenzustände des Drehimpulses berechnet.

Der zweite Teil dieses Kapitels geht dann über die allgemeinen Überlegungen hinaus; dort werden die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses direkt berechnet. Da der Drehimpuls eng mit Rotationen verknüpft ist, ist es an dieser Stelle von großem Vorteil, zu Kugelkoordinaten überzugehen. Im Anschluss daran zeigt sich, dass die weitere Behandlung erneut große Ähnlichkeit mit der des harmonischen Oszillators aufweist. Sie erhalten eine Differentialgleichung, deren Lösungen dementsprechend ebenfalls bekannte Funktionen der mathematischen Physik sind.