Wellenfunktionen in Zwei-Teilchen-Systemen

Wie erstellt man symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen für ein Zwei-Teilchen-System? Man beginnt mit den Ein-Teilchen-Wellenfunktionen (siehe den vorletzten Abschnitt »Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen«):

Entsprechend lautet die symmetrische Wellenfunktion, die hier aus zwei Ein-Teilchen-Wellenfunktionen besteht, wie folgt:

Und die antisymmetrische Wellenfunktion, die ebenfalls aus zwei Ein-Teilchen-Wellenfunktionen besteht, lautet:

Dabei steht n_i für sämtliche Quantenzahlen des i-ten Teilchens.

Beachten Sie insbesondere, dass ψ_a(r₁s₁, r₂s₂) = 0, wenn n₁ = n₂. Das bedeutet, dass die antisymmetrische Wellenfunktion verschwindet, wenn zwei Teilchen den gleichen Satz von Quantenzahlen haben; das ist dann der Fall, wenn sich beide im gleichen Quantenzustand befinden. Daraus ergeben sich wichtige physikalische Folgen.

Man kann ψ_s(r₁s₁, r₂s₂) auch folgendermaßen ausdrücken:

wobei P der Permutationsoperator ist, der die Permutation seiner Argumente bewirkt, und das Fakultät-Zeichen auf die zwei möglichen Permutationen hinweist.

Und ψ_a(r₁s₁, r₂s₂) kann man wie folgt schreiben:

Dabei ist der Ausdruck (–1)^P gleich 1 für gerade Permutationen (bei denen man beides vertauscht, r₁s₁ und r₂s₂ und n₁ und n₂) und –1 für ungerade Permutationen (bei denen r₁s₁ und r₂s₂ vertauscht wird, nicht aber n₁ und n₂; oder man vertauscht n₁ und n₂, nicht aber r₁s₁ und r₂s₂).

Manchmal drückt man ψ_a(r₁s₁, r₂s₂) auch mithilfe einer Determinante aus:

Beachten Sie, dass diese Determinante 0 ergibt, wenn n₁ = n₂.