Die Energieniveaus bestimmen

Um die Energieniveaus eines Teilchens in einem Kastenpotential bestimmen zu können, benötigt man einen genauen Wert von X(x), der nicht durch die Konstanten A und B ausgedrückt ist. Man muss die Randbedingungen benutzen, um A und B zu berechnen. Wie lauten diese Randbedingungen? Die Wellenfunktion muss an den Wänden des Kastens verschwinden, also ist:

X(0) = 0

X(L_x) = 0

Da X(0) = 0 ist, muss B gleich 0 sein, da cos(0) = 1. Und weil X(L_x) = 0 ist, ist X(L_x) = A sin(k_xL_x) = 0. Da der Sinus 0 ist, wenn sein Argument ein Vielfaches von π ist, bedeutet das:

Und weil gilt, folgt:

Das ist die Energie der x-Komponente der Wellenfunktion, entsprechend den Quantenzahlen 1, 2, 3 und so weiter. Die Gesamtenergie eines Teilchens der Masse m innerhalb eines Kastenpotentials ist E = E_x + E_y + E_z. Analog zu ergeben sich für E_y und E_z folgende Ausdrücke:

Somit folgt für die Gesamtenergie E = E_x + E_y + E_z des Teilchens:

Damit haben Sie also die Gesamtenergie eines Teilchens in einem Kastenpotential berechnet.