Bestimmung der erlaubten Energien des Wasserstoffatoms

Die Quantisierungsbedingung, die dafür sorgt, dass ψ(r) endlich bleibt, wenn r gegen unendlich geht, lautet:

Dabei ist Setzt man λ in die Quantisierungsbedingung ein, so erhält man:

Jetzt löst man die Gleichung für die Energie E. Man quadriert beide Seiten:

Damit erhält man die Energie E. (Man beachte: Da E von der Hauptquantenzahl n abhängt, wurde E in E_n umbenannt.):

Physiker schreiben dieses Ergebnis häufig in einer Form, die sich auf den Bohr'schen Radius r₀ bezieht; das ist der Radius, den Niels Bohr für ein Elektron im Wasserstoffatom berechnet hat. Der Bohr'sche Radius lautet

Die Gleichung für die Energie E_n lautet mithilfe von r₀ ausgedrückt:

Für die Energie im Grundzustand, wo n = 1 ist, erhält man E = –13,6 eV.

Beachten Sie, dass diese Energie negativ ist, da das Elektron sich in einem gebundenen Zustand befindet – man muss dem Elektron Energie zuführen, damit es dem Wasserstoffatom entkommen kann. Hier folgen die ersten beiden angeregten Zustände:

Erster angeregter Zustand, n = 2: E = –3,4 eV

Zweiter angeregter Zustand, n = 3: E = –1,5 eV

Damit haben Sie also die Quantisierungsbedingung

benutzt, um die Energieniveaus des Wasserstoffatoms zu berechnen.