Die Streuwinkel umrechnen

Zunächst sollen die Winkel θ und θ₁ betrachtet werden. Man kann mithilfe von v_sp, der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts, v_1lab und v_1s, die Geschwindigkeit von Teilchen 1 im Schwerpunktsystem, folgendermaßen zueinander in Beziehung setzen:

Nach dem Zusammenstoß von Teilchen 1 mit Teilchen 2 gilt außerdem:

Jetzt kann man die Komponenten dieser Geschwindigkeiten bestimmen:

Teilt man die zweite Gleichung durch die erste, so ergibt sich folgender Ausdruck:

Aber wäre es nicht besser, die Formel würde nicht die Geschwindigkeiten, sondern die Massen enthalten, wie etwa die folgende?

Ja, das geht. Man kann Folgendes zeigen:

Und außerdem:

Man kann die Erhaltung des Drehimpulses benutzen, um herauszufinden, was nach dem Stoß passiert. Da sich der Schwerpunkt im Schwerpunktsystem in Ruhe befindet, ist der Gesamtdrehimpuls in diesem System vor und nach dem Stoß gleich null. Es gilt somit:

Deshalb folgt:

Nach dem Stoß gilt , damit folgt:

Wenn der Stoß elastisch ist (Sie können davon ausgehen, dass alle Stöße in diesem Kapitel elastisch sind), bleibt neben dem Drehimpuls auch die kinetische Energie erhalten. Somit gilt die folgende Gleichung:

Setzt man und in diese Gleichung ein, so gilt:

Mithilfe dieser beiden Gleichungen kann man nochmals umschreiben:

Teilt man durch diese Gleichung, so erhält man:

Weiter oben wurde gezeigt, dass gilt. Setzt man in diese Gleichung ein, erhält man folgende Beziehung:

Das stellt genau die Verbindung zwischen θ₁ und θ her, die Sie erhalten wollten. Benutzt man die Beziehung , so kann man in folgenden Ausdruck umschreiben:

Man kann ganz analog θ₂ und θ zueinander in Beziehung setzen. Man kann zeigen, dass ist und zudem, wenn man einen kleinen Trick anwendet, dass Folgendes gilt:

Nun haben Sie also eine Beziehung zwischen den Winkeln im Labor- und im Schwerpunktsystem hergestellt. Wie sieht es mit den Wirkungsquerschnitten in beiden Systemen aus? Das folgt im nächsten Abschnitt.