Das wichtigste von Kapitel 10 noch einmal in Kürze

Das Wasserstoffatom ist das am einfachsten aufgebaute Atom, es ist auch das einzige, für das man die Schrödinger-Gleichung vollständig lösen kann. Es besteht aus einem Proton und einem Elektron, die sich gegenseitig umkreisen.

Um das Problem zu vereinfachen, kann man die Annahme machen, dass sich das Proton in Ruhe befindet. Dann ist die Schrödinger-Gleichung zwar nicht mehr exakt, aber es ermöglicht Ihnen, das Problem zu lösen, so dass Sie auch in diesem Fall eine Fülle neuer Erkenntnisse gewinnen. Da das Potential dann nur noch vom Relativabstand abhängt, kann man zu Relativ- und Schwerpunkt-Koordinaten übergehen. Dieser Wechsel vereinfacht das Problem weiter, da man als Folge zwei Schrödinger-Gleichungen erhält, die man wiederum getrennt lösen kann. Dabei zeigt sich, dass der Einfluss von ψ(R), der Wellenfunktion für den Massenschwerpunkt des Wasserstoffatoms, vernachlässigt werden kann. Demzufolge ist es ausreichend, im Folgenden nur die Schrödinger-Gleichung für ψ(r) zu untersuchen, die ein gedachtes Teilchen der Masse m beschreibt. (Dabei entspricht m ungefähr m_e und ψ(r) etwa ψ(r_e).) Sie lautet:

An dieser Stelle wendet man wieder den Separationsansatz an, der bereits in Kapitel 10 bei der Behandlung von Zentralpotentialen erläutert wurde. Das heißt, man spaltet die Wellenfunktion in einen winkelabhängigen und einen radialen Anteil auf:

Da der winkelabhängige Teil aus den Kugelfunktionen Y_lm(θ, φ) besteht, muss man im Folgenden nur noch die Lösung für die Radialgleichung bestimmen.

Zu diesem Zweck betrachtet man zunächst die Lösungen für kleine und große r getrennt; erst im Anschluss daran verbindet man beide Lösungen. Dies führt auf folgende, recht komplizierte Differentialgleichung:

Sie lässt sich mit einer aus der Mathematik bekannten Methode lösen, dem Potenzreihenansatz. Dabei ist zu beachten, dass die Reihe nach dem N-ten Glied abbrechen muss. Dabei ist N die radiale Quantenzahl; die Hauptquantenzahl n ergibt sich folgendermaßen aus N: .

Im Anschluss daran kann man die Energieeigenwerte E_n betrachten. Es gilt:

Das bedeutet, die Energieeigenwerte hängen nur von der Kombination n = N + l + 1 ab. Zu einem festen vorgegebenen n können somit die Drehimpulsquantenzahlen l = 0, 1, 2, ¹/₄, n – 1 gehören. Berücksichtigt man darüber hinaus, dass zu jedem l verschiedene Werte von m gehören, ergibt sich folgende Gleichung:

Demzufolge ist der Energieeigenwert E_n n²-fach entartet.

Man kann die radiale Schrödinger-Gleichung aber auch in Verbindung mit einer in der Mathematik eingehend untersuchten Differentialgleichung darstellen und sich die Kenntnis ihrer Lösungen zunutze machen. In dieser Darstellung lautet die Wellenfunktion ψ_nlm(r, θ, φ) für das Wasserstoffatom folgendermaßen:

Dabei gilt:

sind die zugeordneten Laguerre-Polynome.

sind die Kugelflächenfunktionen.

ist der Bohrsche Radius.

Jede Lösung ψ_nlm(r, θ, φ) der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom wird durch die drei Quantenzahlen n, l und m gekennzeichnet. Sie werden auch räumliche Quantenzahlen genannt, im Unterschied zur Spinquantenzahl .

Dabei gilt:

Die Hauptquantenzahl n beschreibt die Schale, zu der der Zustand des Elektrons gehört. Die Schalen werden auch der Reihe nach als K-, L-, M-... Schalen bezeichnet.

Die Nebenquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl l charakterisiert die Form des Orbitals in einem Atom. Man verwendet zur Beschreibung von l oftmals bestimmte, historisch festgelegte Buchstaben: s für l = 0, p für l = 1, d für l = 2 usw.

Die magnetische Quantenzahl m beschreibt die Komponente des Elektronen-Bahndrehimpulses in z-Richtung.