Zeitabhängigkeit führt zu einer physikalischen Lösung

Man kann die Zeitabhängigkeit zur Lösung von ψ(x, y, z) hinzufügen und erhält ψ(x, y, z, t), wenn man sich daran erinnert, dass Damit erhält man für ψ(x, y, z, t):

Da gilt, kann man auch Folgendes schreiben:

Da nun auf der rechten Seite der Gleichung der Ortsvektor r steht, kann man die linke Seite entsprechend schreiben:

Das ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung, aber sie ist unphysikalisch (wie dies schon für die eindimensionale Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen in Kapitel 3 diskutiert wurde). Warum? Versucht man beispielsweise diese Gleichung für drei Dimensionen zu normalisieren, erhält man Folgendes:

wobei C eine Konstante ist.

Demzufolge divergiert das Integral und man kann ψ(r, t), so wie es hier steht, nicht normalisieren. Was macht man also, um eine sinnvolle Lösung zu erhalten?

Der Schlüssel zur Lösung dieses Problems liegt in folgender Erkenntnis: Kennt man einige Lösungen der Schrödinger-Gleichung, so ist auch jede Linearkombination dieser Lösungen wieder eine Lösung. Mit anderen Worten, man addiert verschiedene Wellenfunktionen, so dass man ein Wellenpaket erhält, das eine Sammlung von Wellenfunktionen der Form e^ik · r ist und folgende Bedingungen erfüllt:

Die Wellenfunktionen interferieren an einem Ort konstruktiv.

Sie interferieren destruktiv (gehen gegen null) an allen anderen Orten.

Betrachten Sie die zeitunabhängige Form:

Allerdings sind bei einem freien Teilchen die Energiezustände nicht in diskrete Bänder unterteilt. Die möglichen Energien sind kontinuierlich, sodass man die Summe als Integral schreibt:

Was ist φ(k)? Es ist das dreidimensionale Analogon von φ(k), das in Kapitel 3 erläutert wurde; es stellt die Amplitude von jeder Komponente der Wellenfunktion dar. Man kann φ(k) durch die Fourier-Transformation von (mit x < 0) bestimmen:

In der Praxis können Sie φ(k) selber wählen. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Form von φ(k), die ein Gausssches Wellenpaket beschreibt (Man beachte: der exponentielle Teil ist für die Gauss'sche Wellenform verantwortlich):

Dabei sind a und A Konstanten. Um A zu bestimmen, kann man zunächst φ(k) normalisieren. Das geht folgendermaßen:

Die Lösung des Integrals ergibt:

Somit folgt für die Wellenfunktion:

Man kann diese Gleichung entwickeln und erhält dann die Darstellung der zeitunabhängigen Wellenfunktion für ein Gauss'sches Wellenpaket im Dreidimensionalen:

So sieht es also aus, wenn V(r) = 0 gilt. Aber können Sie auch solche Aufgaben lösen, wo V(r) nicht null ist? Natürlich können Sie das. Lesen Sie einfach den nächsten Abschnitt.