Die Operatoren des harmonischen Oszillators als Matrizen

Da die Energiezustände des harmonischen Oszillators regelmäßige Abstände aufweisen, wird in diesem Fall auch gelegentlich die Matrix-Darstellung verwendet, die alles manchmal einfacher macht. Der Eigenvektor des Grundzustands kann dann zum Beispiel das folgende Aussehen haben (man beachte, dass es sich um einen unendlichen Vektor handelt):

Und der erste angeregte Zustand mag wie folgt aussehen:

Und so weiter. Der Besetzungszahloperator, der die Energieniveaus liefert, würde dann wie folgt aussehen:

Somit liefert N|2>:

Das ist gleich:

Mit anderen Worten: N|2> = 2|2>.

Was ist mit dem (Vernichtungs-)Operator a? Dieser hat folgende Gestalt:

Wie lautet a|1> in dieser Darstellung? Allgemein gilt a|n> = n^1/2 |n – 1>, also sollte a|1> gleich |0> sein. Also überprüfen Sie es:

Die Ausführung der Matrizenmultiplikation ergibt:

Mit anderen Worten: a|1> = |0>, genau wie erwartet.

Und was ist mit dem (Erzeugungs-)Operator a^†? Im Allgemeinen wirkt er folgendermaßen: a^†|n> = (n+1)¹/₂ |n +1>. In der Matrix-Darstellung hat a^† das folgende Aussehen:

Man erwartet zum Beispiel, dass ergibt. Ist das so?

Die Durchführung der Multiplikation ergibt:

Folglich ist ,, genau wie erwartet.

Und was ist mit dem Hamilton-Operator H|n> = E_n|n>, der die Energie eines Eigenzustands liefert? In der Matrix-Darstellung hat er die folgende Form:

Wenn Sie also die Matrix-Darstellung bevorzugen, so haben Sie hier gesehen, auf welche Weise sie beim harmonischen Oszillator angewendet wird.