Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ungebundene Teilchen

Was ist mit Teilchen außerhalb von sämtlichen Potentialtöpfen – also mit freien Teilchen? Es gibt eine Unmenge von Teilchen, die sich frei im Universum bewegen, und die Quantenphysik kann Einiges über sie sagen.

Die Schrödinger-Gleichung lautet:

Was ist, wenn das Teilchen ein freies Teilchen mit V(x) = 0 ist? In diesem Fall hat man die folgende Gleichung:

Diese kann man wie folgt schreiben:

wobei k² = 2mE/² ist.

Die allgemeine Lösung für diese Schrödinger-Gleichung ist:

Ergänzt man die Zeitabhängigkeit zu dieser Gleichung, so erhält man folgende zeitabhängige Wellenfunktion:

Das ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung, doch erscheint sie sehr unphysikalisch. Um das zu erkennen, beachte man, dass man für keinen der beiden Terme in der Gleichung die

Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x)|² normalisieren kann (mehr über das Normalisieren steht in dem Abschnitt »Die Normalisierung der Wellenfunktion«):

Was geht hier vor? Die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort eines Teilchens ist für alle x gleich! Mit anderen Worten, Sie können den Ort des Teilchen nicht genau bestimmen.

Das Ergebnis beruht auf der Form der zeitabhängigen Wellenfunktion, die den genauen Wert der Wellenzahl k benutzt sowie p = k und E = k²/2m. Die Gleichung besagt also, dass man E und p genau kennt. Und wenn man E und p genau kennt, dann bedeutet das eine große Unbestimmtheit von x und t; in diesem Fall sind x und t sogar absolut unbestimmt. Das stimmt nicht mit der physikalischen Wirklichkeit überein.

Schließlich ist die Wellenfunktion ψ(x), wie sie oben angegeben ist, nicht normalisierbar. Versucht man zum Beispiel, den ersten Term zu normalisieren, so erhält man folgendes Integral:

Für den ersten Term von x(ψ, t) ergibt das:

Und dasselbe gilt für den zweiten Term von ψ(x, t).

Was ist also hier zu tun, um ein physikalisches Teilchen zu erhalten? Der nächste Abschnitt erklärt es.