Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen

Zahlreiche Wellenfunktionen, die Lösungen physikalischer Problemstellungen wie etwa beim Potentialtopf sind, sind nicht von Natur aus symmetrisch oder antisymmetrisch; sie sind einfach nur asymmetrisch. Mit anderen Worten, sie haben keine definierte Symmetrie. Wie gelangt man in solchen Fällen zu symmetrischen oder antisymmetrischen Wellenfunktionen?

Die Antwort lautet, dass Sie sie selber erzeugen müssen, und das tun Sie, indem Sie asymmetrische Funktionen addieren. Betrachten Sie beispielsweise eine asymmetrische Wellenfunktion von zwei Teilchen, ψ(r₁s₁, r₂s₂).

Um eine symmetrische Wellenfunktion zu erzeugen, müssen Sie ψ(r₁s₁, r₂s₂) zu ψ(r₂s₂, r₁s₁), bei der die beiden Teilchen vertauscht sind, addieren. Nimmt man an, dass ψ(r₁s₁, r₂s₂) und ψ(r₂s₂, r₁s₁) normalisiert sind, kann man so eine symmetrische Wellenfunktion erzeugen:

Wenn man die beiden Wellenfunktionen voneinander subtrahiert, erhält man eine antisymmetrische Wellenfunktion:

Diese Rechnung wird schnell umfangreicher, wenn Sie mehr Teilchen hinzunehmen, da alle Teilchen vertauscht werden müssen. Wie sieht zum Beispiel eine symmetrische Wellenfunktion aus, die auf der asymmetrischen Wellenfunktion ψ(r₁s₁, r₂s₂, r₃s₃) beruht? Sie lautet folgendermaßen:

Und was ist mit der antisymmetrischen Wellenfunktion? Sie lautet:

Auf diese Weise kann man theoretisch symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen für jedes System aus N Teilchen erzeugen.