Einteilung in symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen
Da Pij2 = 1 (siehe obigen Abschnitt) ist, hat Pij die möglichen Eigenwerte 1 und –1, wenn eine Wellenfunktion eine Eigenfunktion von Pij ist. Für ψ(r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rN) lautet eine Eigenfunktion von Pij:
Das bedeutet, dass es zwei Sorten von Eigenfunktionen des Austauschoperators gibt:
Symmetrische
Eigenfunktionen:
Antisymmetrische
Eigenfunktionen:
Betrachten wir also einige symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen. Was ist mit der folgenden – ist sie symmetrisch oder antisymmetrisch?
Man kann den Vertauschungsoperator P12 anlegen:
Da (r1 – r2)2 = (r2 – r1)2, ist ψ1(r1,r2) eine symmetrische Wellenfunktion, weil dann ja P12ψ1(r1,r2) = ψ1(r1,r2).
Was ist mit dieser Wellenfunktion?
Wenden Sie wieder den Austauschoperator P12 an:
Gut, da 
, gilt P12ψ2(r1, r2) = ψ2(r1, r2), somit ist ψ2(r1, r2) symmetrisch.
Eine weitere Wellenfunktion lautet:
Jetzt wendet man P12 an:
Wie verhalten sich die beiden Gleichungen
zueinander? Da 
ist, ist also P12ψ3(r1, r2) =
–ψ3(r1, r2). Daher ist
ψ3(r1, r2)
antisymmetrisch.
Und was ist mit dieser Wellenfunktion?
Man wendet P12 an:
Und wie verhält sich diese zur Ursprungsgleichung?
Offensichtlich ist ψ4(r1,r2) symmetrisch.
Sie denken jetzt wohl, das könnte so weitergehen, aber was ist mit der nächsten Wellenfunktion?
Man wendet jetzt P12 an:
Wie verhalten sich die beiden Gleichungen zueinander?
Somit ist ψ5(r1, r2) weder symmetrisch noch antisymmetrisch. Mit anderen Worten, ψ5(r1, 2) ist keine Eigenfunktion des Austauschoperators P12.