Verkürzte Schreibweise durch Ket-Vektoren

Die Dirac-Schreibweise verkürzt den Zustandsvektor folgendermaßen zu einem Ket-Vek tor: |ψ>. Damit kann man den Zustandsvektor aus dem Würfelbeispiel als Ket-Vektor schreiben:

In diesem Fall bestehen die Komponenten des Zustandsvektors aus Zahlen des 11-dimensionalen Würfelraums. Normalerweise bestehen die Komponenten allerdings aus Funktionen; das sieht dann etwa so aus:

Man kann Funktionen als Komponenten von Zustandsvektoren verwenden, solange diese Funktionen linear unabhängig sind (und so als unabhängige Achsen im Hilbert-Raum betrachtet werden können). Im Allgemeinen ist ein Satz von Vektoren φ_N im Hilbert-Raum linear unabhängig, wenn die einzige Lösung der folgenden Gleichung darin besteht, dass alle Koeffizienten a_i = 0 sind:

Solange man keinen der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren ausdrücken kann, sind diese Vektoren linear unabhängig und bilden somit eine Basis im Hilbert-Raum.