Quantenzustände mit Spin

Sie haben sich vielleicht schon gefragt, was mit dem Spin des Elektrons ist? Sie haben Recht! Der Spin des Elektrons sorgt für weitere Quantenzustände. In diesem Abschnitt haben Sie bis jetzt die Wellenfunktion des Wasserstoffatoms als Produkt aus einem radialen und einem winkelabhängigen Teil betrachtet:

Jetzt können Sie einen spinabhängigen Teil hinzufügen, entsprechend dem Spin des Elektrons. Dabei sind s der Spin des Elektrons und m_s die z-Komponente des Spins:

Der spinabhängige Teil der Gleichung kann folgende Werte annehmen:

Aus wird jetzt :

Diese Wellenfunktion kann in Abhängigkeit von m_s zwei verschiedene Formen annehmen:

Sie können auch folgende Darstellung des Spins (die Sie in Kapitel 6 kennengelernt haben) benutzen:

Für lässt sich die Wellenfunktion beispielsweise wie folgt schreiben:

Und für ergibt sich:

Und was bedeutet das für die Energieentartung? Wenn Sie den Spin des Elektrons berücksichtigen, so gibt es zu jedem Zustand |n, l, m> zwei Spinzustände. Daraus folgt für die Entartung:

Wenn man den Spin des Elektrons berücksichtigt, ist die Energieentartung des Wasserstoffatoms 2n².

Man kann auch noch den Spin des Protons in der Wellenfunktion berücksichtigen (obwohl man es gewöhnlich nicht macht, da der Spin des Protons nur wenig mit einem an das Wasserstoffatom angelegten Magnetfeld wechselwirkt). In diesem Fall sieht die Wellenfunktion folgendermaßen aus:

Dabei ist s_e der Spin des Elektrons, m_se die z-Komponente des Elektronenspins, s_p der Spin des Protons und m_sp die z-Komponente des Protonenspins.

Berücksichtigt man den Spin des Protons, so kann die Wellenfunktion in Abhängigkeit von m_s vier verschiedene Formen annehmen:

Die Entartung muss nun auch den Spin des Protons berücksichtigen. Somit gibt es zu jedem Zustand |n,l,m> vier Spinzustände. Daraus folgt für die Entartung: