Die Eigenzustände des Drehimpulses bestimmen

Jetzt ist es an der Zeit, die Eigenzustände |l, m> des Drehimpulses zu bestimmen. Wenn Sie die Eigenzustände haben, kennen Sie auch die Eigenwerte, und wenn Sie die Eigenwerte kennen, können Sie die Hamilton-Funktion lösen und erhalten die erlaubten Energieniveaus eines Körpers mit Drehimpuls.

Machen Sie nicht die Annahme, dass |l, m> die Eigenzustande sind, nehmen Sie stattdessen |α, β>, wobei der Eigenwert von L² dann L² |α ,β > = ²α |α ,β > lautet. Der Eigenwert von L² ist somit ² α, was Sie nun für α lösen müssen. Analog ergibt sich der Eigenwert von L_z: L_z | α, β > = β|α,β >.

Um weiter voranzukommen, müssen Sie nun Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren einführen (genau wie in Kapitel 4 beim harmonischen Oszillator). Auf diese Weise können Sie beispielsweise das Problem für den Grundzustand lösen, indem Sie den Vernichtungsoperator an den Grundzustand anlegen und das Ergebnis gleich null setzen – und dann lösen Sie es für den Grundzustand selbst.

In diesem Fall ist der Erzeugungsoperator L₊ und der Vernichtungsoperator L_–. Diese Operatoren erhöhen und erniedrigen die Quantenzahl von L_z. Analog zu Kapitel 4 kann man die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wie folgt definieren:

Erzeugen: L₊ = L_x + iL_y

Vernichten: L_– = L_x – iL_y

Diese beiden Gleichungen bedeuten:

Ebenfalls gilt:

Das bedeutet, dass folgende Ausdrücke L² entsprechen:

Darüber hinaus gelten folgende Gleichungen:

Okay, mit all diesen Gleichungen können Sie nun arbeiten; jetzt folgt der interessante Teil. Betrachten Sie zunächst die Wirkung von L₊ auf |α, β>:

Um zu sehen, was ergibt, wendet man den Operator L_z auf diese Gleichung an:

Aus folgt, dass ; somit ergibt sich:

Und weil ist, erhält man folgende Gleichung:

Diese Gleichung besagt, dass der Eigenzustand auch ein Eigenzustand des Operators L_z mit dem Eigenwert (β + 1) ist. Oder verständlicher ausgedrückt:

Dabei ist c eine Konstante, die später in dem Abschnitt »Die Eigenwerte der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bestimmen« berechnet wird.

Der Operator L₊ erhöht die Quantenzahl β um 1. Der Vernichtungsoperator bewirkt dementsprechend das folgende:

Nun betrachten Sie, was ergibt:

Da L² ein Skalar ist, kommutiert er mit allen Operatoren. Da ist, gilt folgendes:

Und weil ist, gilt die folgende Gleichung:

Der Vernichtungsoperator bewirkt dementsprechend das folgende:

Diese Gleichungen besagen also, dass die Operatoren L_± den Eigenwert von |α, β> nicht verändern.

Okay, aber was sind α und β? Lesen Sie weiter!