Einfluss der Leiteroperatoren auf die Eigenzustände des harmonischen Oszillators

Nachdem Sie die Energieeigenwerte des quantenmechanischen Oszillators auf sehr elegante Art und Weise bestimmt haben, besteht das Ziel jetzt darin, die Eigenzustände zu berechnen. Bei der Verwendung der algebraischen Methode wird im nächsten Schritt der Einfluss der Leiteroperatoren auf die Eigenzustände des harmonischen Oszillators untersucht.

Die Energie von a | n > berechnen

Zuerst stellt sich die Frage, wie die Energie des Zustands a|n> lautet, wenn die Energie des Zustands |n> gleich E_n ist? Man kann die Energie von a|n> folgendermaßen schreiben:

Somit ist a|n> also ein Eigenzustand des harmonischen Oszillators mit der Energie E_n – ω und nicht mit E_n. Deshalb wird der Operator a Vernichtungs- oder Erniedrigungsoperator genannt: er erniedrigt das Energieniveau eines Eigenzustands eines harmonischen Oszillators um ein Niveau.

Die Energie von a^†|n > berechnen

Wie lautet dann das Energieniveau von a^†|n? Man kann das folgendermaßen schreiben:

Das bedeutet, dass a^†|n> ein Eigenzustand des harmonischen Oszillators mit der Energie E_n + ω und nicht mit E_n ist. Das heißt, der Operator a^† erhöht das Energieniveau eines Eigenzustands eines harmonischen Oszillators um ein Niveau. Er wird auch Erhöhungsoperator genannt.