Eigenvektoren und Eigenwerte: Natürlich sind sie eigenartig!
Wenn Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben, wissen Sie, dass man einen neuen Ket erhalten kann, wenn man einen Operator auf einen Ket wirken lässt:
Um die Sache leichter zu machen, kann man mit
Eigenvektoren und Eigenwerten arbeiten. Beispielsweise ist |ψ>
ein Eigenvektor des Operators A, wenn:
die Zahl a eine komplexe Konstante ist
A|ψ> = a|ψ>
Man beachte, was hier passiert: Lässt man A auf einen seiner Eigenvektoren |ψ> wirken, so bekommt man |ψ> zurück, multipliziert mit dem Eigenwert a des Eigenvektors.
Obwohl a eine komplexe Konstante sein kann, sind die Eigenwerte hermitescher Operatoren reele Zahlen, und ihre Eigenvektoren sind orthogonal (das bedeutet <ψ|φ> = 0).
Das Leben wird viel einfacher, wenn man eine Aufgabe mithilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten berechnet, da das Anlegen eines Operators auf seine Eigenvektoren nur denselben Eigenvektor zurück gibt, multipliziert mit seinen Eigenwerten. Es tritt also kein vertrackter Wechsel der Zustände auf, und man muss nicht mit einem anderen Zustandsvektor rechnen.
Um die Begriffe Eigenwerte und Eigenvektoren etwas näher zu erläutern, wird an dieser Stelle noch einmal der Operator W aus dem Würfelexperiment in Matrixform betrachtet (siehe den Abschnitt In großer Erwartung: Erwartungswerte bestimmen weiter vorne):
Der Operator W wirkt im 11-dimensionalen Raum und ist hermitesch, deshalb gibt es 11 orthogonale Eigenvektoren und 11 entsprechende Eigenwerte.
Da W eine Diagonalmatrix ist, ist es einfach, die Eigenvektoren zu bestimmen. Man kann zum Beispiel Einheitsvektoren in den 11 verschiedenen Richtungen als Eigenvektoren nehmen. Der erste Eigenvektor ξ1 sieht folgendermaßen aus:
Und so sieht der zweite Eigenvektor ξ2 aus:
Und so geht es weiter bis ξ11:
Man beachte, dass die Eigenvektoren alle orthogonal sind.
Und die Eigenwerte? Das sind Zahlen, die man erhält, wenn man den Operator W an einen Eigenvektor anlegt. Da die Eigenvektoren gerade Einheitsvektoren in allen 11 Dimensionen sind, sind die Eigenwerte die Zahlen in der Diagonale der Matrix W: 2, 3, 4 und so weiter bis 12.