Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen

Wenn nun ein Operator in Matrixform gegeben ist, wie findet man dann seine Eigenvektoren und Eigenwerte? Stellen Sie sich vor, Sie sollen folgende Gleichung lösen:

Diese Gleichung kann man wie folgt umschreiben:

I ist die Einheitsmatrix, die entlang der Diagonale die 1 enthält und deren übrige Elemente 0 sind:

Die Lösung der Gleichung (A – aI)|ψ> = 0 existiert nur, wenn die Determinante der Matrix (A – aI) gleich 0 ist:

Eigenwerte bestimmen

Alle Werte von a, die die Gleichung det(A – aI) = 0 erfüllen, sind Eigenwerte der Ursprungsgleichung. Versuchen Sie, die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrix zu bestimmen:

Als erstes bringt man die Matrix in die Form A – aI:

Danach bestimmt man die Determinante:

Das kann man wie folgt ausklammern:

Sie wissen, dass det(A – aI) = 0 ist; daher sind die Eigenwerte von A die Nullstellen dieser Gleichung, nämlich a₁ = –2 und a₂ = –3.

Eigenvektoren bestimmen

Aber wie findet man die Eigenvektoren? Um den zu a₁ (siehe vorangehender Abschnitt) gehörigen Eigenvektor zu finden, setzt man den ersten Eigenwert a₁= –2 in die Matrix ein:

erhält man damit:

Da jede Zeile dieser Matrixgleichung stimmen muss, weiß man, dass ψ₁ = ψ₂. Das bedeutet, dass der zu a₁ gehörende Eigenvektor, abgesehen von einer willkürlichen Konstante, der folgende ist:

Man lässt die Konstante wegfallen und schreibt dies als:

Was ist mit dem Eigenvektor, der zu a₂ gehört? Setzt man a₂ = –3 in die Matrix ein, erhält man:

und daraus folgt:

Folglich ist 2ψ₁ – ψ₂ = 0 und daher ψ₁ = ψ₂/2. Das bedeutet, dass der zu a₂ gehörende Eigenvektor, mit einer willkürlichen Konstante c wie folgt aussieht:

Weglassen der Konstante ergibt:

Die Eigenwerte des Operators

sind a₁ = –2 und a₂ = –3. Der zu a₁ gehörende Eigenvektor ist

und der zu a₂ gehörende Eigenvektor ist