Die Kommutatoren von L_x, L_y und L_z bestimmen

Als Erstes soll überprüft werden, ob diese Operatoren kommutieren. Wenn sie kommutieren (beispielsweise wenn [L_x, L_y] = 0), dann kann man zwei beliebige von ihnen (zum Beispiel L_x und L_y) genau messen. Wenn nicht, dann unterliegen sie der Unschärferelation, und man kann sie nicht gleichzeitig genau messen.

Okay, wie lautet also der Kommutator von L_x und L_y? Verwendet man L_x = YP_z – ZP_y und L_y = ZP_x – XP_z, so kann man Folgendes schreiben:

[L_x, L_y] = [YP_z – ZP_y, ZP_x – XP_z]

Diese Gleichung kann man folgendermaßen umformen:

[L_x, L_y] = [YP_z, ZP_x] – [YP_z, XP_z] – [ZP_y, ZP_x] + [ZP_y, XP_z]

[L_x, L_y] = Y[P_z, ZP_x]P_x + X[ZP_y,P_z]P_y

[L_x, L_y] = i (XP_y – YP_x)

Aber XP_y – YP_x = L_z, somit folgt [L_x, L_y] = i L_z. L_x und L_y kommutieren also nicht, was bedeutet, dass man sie nicht gleichzeitig präzise messen kann. Man kann auf die gleiche Weise zeigen, dass [L_y, L_z] = i L_x und [L_z, L_x] = i L_y.

Da die Komponenten des Drehimpulses nicht miteinander kommutieren, kann man niemals auch nur zwei von ihnen mit absoluter Genauigkeit gleichzeitig messen. Mist!

Das bedeutet also, dass die Operatoren L_x, L_y und L_z keine gemeinsamen Eigenzustände haben. Was kann man also machen? Wie kann man einen Operator finden, der die gleichen Eigenzustände wie die verschiedenen Komponenten des Drehimpulsoperators hat, sodass man die Eigenzustände als |l, m> schreiben kann?

Hier benutzt man gewöhnlich den Trick, dass das Quadrat des Drehimpulses L² ein Skalar und kein Vektor ist, sodass er mit den Operatoren L_x, L_y und L_z kommutiert:

[L², L_x] = 0

[L², L_y] = 0

[L², L_z] = 0

Okay, Sie machen also Fortschritte. Weil L_x, L_y und L_z nicht miteinander kommutieren, können sie auch keine gemeinsamen Eigenzustände haben. Weil aber L² mit ihnen kommutiert, können L² und jeweils eine der drei Komponenten gemeinsame Eigenwerte besitzen. Gewöhnlich wählt man L_z, um die Eigenwerte der gemeinsamen Eigenfunktionen mit L² zu bestimmen.