Exakte Lösungen berechnen

Wie lauten also die Energieeigenwerte des obigen Hamilton-Operators für den harmonischen Oszillator in einem elektrischen Feld? Berechnen Sie zunächst die exakten Eigenwerte, und wenden Sie anschließend die Störungstheorie an. Sie können die genauen Energieeigenwerte berechnen, indem Sie eine der beiden folgenden Substitutionen vornehmen:

Setzt man die Gleichung für x in ein, so erhält man

Der letzte Ausdruck ist eine Konstante, die Gleichung hat somit folgende Form:

Dabei ist . ist nur der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators mit einer zusätzlichen Konstante, was bedeutet, dass die Energieniveaus einfach zu bestimmen sind:

Ersetzt man C wieder, erhält man die exakten Energieniveaus:

Großartig, das ist die exakte Lösung.