Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion
Wie entwickelt sich die Wellenfunktion für ein Teilchen in einem unendlichen rechteckigen Potentialtopf mit der Zeit? Die Schrödinger-Gleichung sieht folgendermaßen aus:
Man kann die Schrödinger-Gleichung auch wie folgt schreiben, wobei H der hermitesche Hamilton-Operator ist:
Das ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung sieht wie folgt aus:
Verknüpft man die drei obenstehenden Gleichungen miteinander, so erhält man den folgenden Ausdruck, der eine Form der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung darstellt:
Da wir hier nur mit einer Dimension rechnen, nämlich x, erhält die Gleichung folgendes Aussehen:
Das ist allerdings viel einfacher als es aussieht, da sich das Potential nicht mit der Zeit ändert. Da E insgesamt konstant ist, kann man die Gleichung wieder umschreiben:
Diese Gleichung macht das Leben gleich viel einfacher; es ist ganz einfach, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung zu lösen, wenn man mit einem konstanten Potential rechnet. In diesem Fall lautet die Lösung:
Schön! Wenn sich das Potential nicht mit der
Zeit ändert, besteht die Lösung der zeitabhängigen
Schrödinger-Gleichung aus ψ(x), also dem räumlichen Anteil,
multipliziert mit 
, dem zeitabhängigen Anteil.
Wenn man nun also den zeitabhängigen Teil zur zeitunabhängigen Wellenfunktion hinzufügt, so erhält man die zeitabhängige Wellenfunktion, die wie folgt aussieht:
Die Energie des n-ten Quantenzustands ist bekanntlich:
Damit erhält man folgendes Ergebnis:
wobei exp(x) = ex.