Vereinfachung und Aufspaltung der Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff

Die quantenmechanische Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom lautet:

Dabei muss man die Entfernung des Protons vom exakten Mittelpunkt, dem Schwerpunkt der Massen des Atoms, berücksichtigen. Das macht die Mathematik sehr kompliziert. Wenn man dagegen annimmt, dass sich das Proton in Ruhe befindet und r_p = 0 ist, so vereinfacht sich die Gleichung, sodass sie sich leichter lösen lässt:

Unglücklicherweise ist diese Gleichung nicht exakt, da sie die Bewegung des Protons vernachlässigt. Wenn Sie mit der vollständigen Version arbeiten wollen, so finden Sie diese in Quantenmechanik-Büchern.

Um die übliche Schrödinger-Gleichung zu vereinfachen, wechselt man zu Schwerpunkt-Koordinaten. Der Schwerpunkt des Systems Proton-Elektron befindet sich an folgendem Ort:

Der Vektor zwischen Elektron und Proton lautet:

Verwendet man die Vektoren R und r statt r_e und r_p, so ist die Schrödinger-Gleichung einfacher zu lösen.

Der Laplace-Operator für R ist nun: .

Und der Laplace-Operator für r sieht folgendermaßen aus: .

Wie hängen ∇_R² und ∇_r² mit und zusammen? Mithilfe der Algebra erhält man den Zusammenhang:

Dabei ist M = m_e + m_p die Gesamtmasse und ist die reduzierte Masse. Fasst man die Gleichungen für den Schwerpunkt, den Vektor zwischen dem Proton und dem Elektron, die Gesamtmasse und die reduzierte Masse zusammen, so lautet die Schrödinger-Gleichung:

Da r = r_e – r_p gilt, folgt .

Demzufolge geht in folgende Gleichung über:

Nachdem man Schwerpunkt-Koordinaten eingeführt hat, enthält die Schrödinger-Glei-chung nur noch Ausdrücke, die entweder von R oder von r abhängen. Das heißt, dass man an dieser Stelle wieder auf die bereits bewährte Methode der Separation zurückgreifen kann. Für die Wellenfunktion gilt:

Setzt man diese Gleichung in die obige ein, so erhält man:

Teilt man diese Gleichung durch , so erhält man:

Sehr gut. Diese Gleichung besteht aus Ausdrücken, die entweder von ψ(R) oder von ψ(r) abhängen, aber nicht von beiden. Das bedeutet, man kann diese Gleichung folgendermaßen in zwei Gleichungen separieren (dabei ist die Gesamtenergie E = E_R + E_r):

Multipliziert man , so erhält man:

Multipliziert man , so erhält man:

Jetzt hat man zwei Schrödinger-Gleichungen. Die nächsten beiden Abschnitte zeigen, wie man sie unabhängig voneinander löst.