Die Gleichungen für x, y und z
Zunächst wird die x-Richtung betrachtet:
. Die
allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet:
Dies beschreibt eine ebene Welle. Normalisieren der Gleichung (wie in Kapitel 3 diskutiert) ergibt Folgendes:
Die Gleichungen für die y- und z-Komponente haben die gleiche Form:
Da ψ(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z), erhält man für ψ(x, y, z):
In der Klammer im Exponenten steht das Skalarprodukt der Vektoren k und r: k · r. Wenn der Vektor a = (ax, ay, az) ist und der Vektor b = (bx, by, bz), so ist das Skalarprodukt von a und b: a · b = (axbx, ayby, azbz). Damit folgt für ψ(x, y, z):
