Freie Teilchen im Dreidimensionalen in Kugelkoordinaten
Um zu zeigen, wie sich die Radialgleichung lösen lässt (im vorangegangenen Abschnitt wurde die Radialgleichung erläutert), werden in den nächsten beiden Abschnitten verschiedene Zentralpotentiale behandelt. Zuerst betrachten wir freie Teilchen, die in kein Potential eingeschlossen sind.
Die Wellenfunktion hat in Kugelkoordinaten die folgende Form:
Über Ylm(θ, φ) wissen Sie Bescheid, denn das sind die Kugelfunktionen. Das Problem besteht nun darin, die Gleichung für den Radialteil Rnl(r) zu lösen. Die Radialgleichung lautet:
Für ein freies Teilchen gilt V(r) = 0, damit folgt für die Radialgleichung:
Um mit dieser Gleichung weiterzuarbeiten, ersetzt
man gewöhnlich kr durch ρ, wobei 
ist, sodass Rnl(r) zu Rl(kr) =
Rl(ρ) wird. Das bedeutet, dass
folgende Form erhält:
Sie werden jetzt sicher nicht überrascht sein, wenn Sie erfahren, dass sich auch diese Gleichung im Rahmen der mathematischen Physik elementar lösen lässt. Das bedeutet, dass Sie im folgenden Abschnitt zwei weitere Arten von Funktionen kennen lernen werden, die sphärischen Bessel-Funktionen und die sphärischen Neumann-Funktionen.