Nicht an eine Basis gebundene Zustandsvektoren: Bras und Kets

Der Grund dafür, dass man in der Quantenphysik hauptsächlich die Ket-Schreibweise benutzt, liegt darin, dass man so mit Zustandsvektoren arbeiten kann, ohne an eine bestimmte Basis gebunden zu sein. Mit anderen Worten, man ist weder an den Ortsraum, noch an den Impuls- oder Energieraum gebunden. Das ist äußerst hilfreich, da die meiste Arbeit in der Quantenphysik aus abstrakten Rechnungen besteht und man nicht all die Komponenten der Zustandsvektoren durch diese Rechnungen mitschleppen will (oftmals geht das auch gar nicht – bei manchen Rechnungen, die man durchführen will, können unendlich viele Zustände vorhanden sein).

Stellen Sie sich vor, Sie beschreiben die Zustände durch Ortsvektoren in einem dreidimensionalen Hilbert-Raum. Dort haben Sie die x-, y- und z-Achsen, die die Basis in Ihrem Ortsraum bilden. Das ist zwar prima, aber wahrscheinlich können Sie nicht bei all Ihren Rechnungen den Ortsraum benutzen.

Jetzt wollen Sie beispielsweise die Zustände in einem dreidimensionalen Impulsraum mit den drei Achsen p_x, p_y und p_z im Hilbert-Raum darstellen. Dann müssen Sie alle Ortsvektoren in Impulsvektoren umwandeln, indem Sie jede einzelne Komponente umschreiben und genau verfolgen, was mit jeder einzelnen Komponente während der Rechnung passiert.

Hier kommt nun Diracs Bra-Ket-Schreibweise zu Hilfe. Sie benutzen sie, um die Mathematik durchzuführen und setzen dann erst die verschiedenen Komponenten Ihrer Zustandsvektoren ein. Das ist der Trick; Sie können Ihre Rechnungen mithilfe rein symbolischer Terme durchführen, ohne dabei auf eine Basis festgelegt zu sein.

Und wenn Sie sich tatsächlich mit den Komponenten des Kets befassen müssen, wenn Sie also physikalische Antworten wollen, dann können Sie die Kets in jeder Basis benutzen, indem Sie die Komponenten auf die Achsen der Basis übertragen. Man kann beispielsweise den Ket |ψ> in dem durch i, j und k beschriebenen Ortsraum betrachten. Diese sind Einheitsvektoren des Ortes entlang der x-, y- und z-Achsen; man muss jetzt nur die drei Komponenten von |ψ> entlang von i, j und k finden, um die neue Formulierung des Kets, |φ> genannt, zu erhalten. Das sieht im Allgemeinen folgendermaßen aus, wobei φ_i Einheitsvektoren in der Basis sind, zu der man wechseln will: