Anti-hermitesche Operatoren

Hier kommt eine neue Frage: Was kann man wohl über das hermitesch Adjungierte eines Kommutators zweier hermitescher Operatoren sagen? Hier kommt die Antwort. Zunächst schreibt man die Adjungierte:

Die Definition des Kommutators sagt das Folgende:

Man weiß, dass (AB)^† = B^† A^† ist (siehe den früheren Abschnitt »Hermitesche Operatoren und ihre Adjungierten«; dort findet sich mehr über die Eigenschaften der Adjungierten). Damit folgt:

Da für hermitesche Operatoren A = A^† gilt, kann man das Zeichen ^† weg lassen:

Aber BA – AB ist gerade –[A,B] und somit folgt:

A und B sind hier hermitesche Operatoren. Wenn man das hermitesch Adjungierte eines Ausdrucks bildet und dieses genauso aussieht wie der ursprüngliche Ausdruck, nur mit einem negativen Vorzeichen, dann heißt dieser anti-hermitesch. Der Kommutator von zwei hermiteschen Operatoren ist also anti-hermitesch. (Und da wir gerade dabei sind, der Erwartungswert eines anti-hermiteschen Operators ist garantiert rein imaginär.)