Näherungen für große und kleine ρ

Mithilfe der sphärischen Bessel-Funktionen sieht der radiale Teil der Wellenfunktion für ein freies Teilchen wie folgt aus:

Betrachtet man nun die sphärischen Bessel- und Neumann-Funktionen für große und kleine ρ, so ergibt sich Folgendes:

Kleine ρ: Die Bessel-Funktion verhält sich wie
Die Neumann-Funktion verhält sich wie

Große ρ: Die Bessel-Funktion verhält sich wie
Die Neumann-Funktion verhält sich wie

Man beachte, dass die Neumann-Funktionen für kleine ρ divergieren. Folglich divergiert jede Wellenfunktion, die Neumann-Funktionen enthält, was unphysikalisch ist. Deshalb sind die Neumann-Funktionen keine akzeptablen Funktionen für die Wellenfunktion.

Die Wellenfunktion , die gleich ist, lautet somit:

wobei . Da k jeden Wert annehmen kann, sind die Energieniveaus folglich kontinuierlich.