Die Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung

In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Wellenfunktionen vervollständigt. Betrachten Sie die Bestimmung von R_nl(r) (siehe den vorangegangenen Abschnitt ,,Zusammenfügen der Lösungen für die Radialgleichung“). Sie wissen also das Folgende:

, wobei gilt. Somit folgt:

Das ist allerdings nicht ausreichend; die obige Gleichung stammt aus der Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung:

Die Lösung stimmt – bis auf eine multiplikative Konstante; also fügt man eine solche Konstante A_nl hinzu, die von der Hauptquantenzahl n und der Drehimpulsquantenzahl l abhängt:

Man bestimmt A_nl, indem man R_nl (r) normiert.

Versuchen Sie jetzt, die Lösung für R_nl (r) zu bestimmen, indem Sie einfach weiterrechnen. Versuchen Sie es beispielsweise für R₁₀(r). In diesem Fall ist n = 1 und l = 0. Da N + l + 1 = n, folgt N = n – l – 1. Somit ist hier N = 0. Damit folgt für R_nl (r):

Die Summe in dieser Gleichung ist dann , somit folgt:

Da l = 0 ist, ist r^l = 1, sodass mit . Deshalb kann man auch folgendermaßen schreiben:

Dabei ist r₀ der Bohr'sche Radius. Um A₁₀ und a₀ zu finden, muss man ψ₁₀₀(r, θ, φ) normieren, was bedeutet, |ψ₁₀₀(r, θ, φ)|²d³r über den gesamten Raum zu integrieren und das Ergebnis gleich 1 zu setzen.

Hier gilt d³r = r² sinθ dr d θ dφ; die Integration der Kugelfunktionen, wie etwa Y₀₀, über die gesamte Kugel ergibt 1. Es muss folglich nur noch der radiale Teil normiert werden:

Setzt man in ein, so folgt:

Diese Art von Integral kann man mithilfe folgender Gleichung lösen:

Somit gilt für die Gleichung folgendes:

Daraus folgt:

Das ist ein wirklich einfaches Ergebnis. Da A₁₀ nur dazu dient, das Ergebnis zu normieren, kann man A₁₀ gleich 1 setzen (das wäre nicht der Fall, wenn Mehrfach-Ausdrücke enthalten würde). Daher ist . Das ist schön; man erhält somit für R₁₀(r), das durch die Gleichung gegeben ist, folgenden Ausdruck:

Sie wissen, dass gilt.

Somit erhält man für ψ₁₀₀(r, θ, φ):

Phantastisch! Ganz allgemein lautet die Wellenfunktion ψ₁₀₀(r, θ, φ) für Wasserstoff folgendermaßen:

Dabei sind die zugeordneten Laguerre-Polynome. Die ersten Laguerre-Polynome lauten: