Test der entarteten Störungstheorie: Wasserstoff in elektrischen Feldern

In diesem Abschnitt werden Sie erfahren, ob die Störungstheorie mit dem Wasserstoffatom umgehen kann, dessen Energiezustände in verschiedenen Drehimpulsquantenzahlen entartet sind, wenn Sie die Entartung durch Anlegen eines elektrischen Feldes aufheben.

Stellen Sie sich vor, Sie legen ein elektrisches Feld ε an ein Wasserstoffatom an, das sich im zweiten angeregten Zustand befindet (n = 2). Dieser Zustand hat vier Eigenfunktionen, die dieselbe Energie besitzen, und deren Quantenzahlen |nlm lauten (diese Eigenfunktionen werden in |1, |2 usw. umbenannt, damit die Rechnung einfacher wird):

|1> = |200

|2> = |211

|3> = |210

|4> = |21 – 1

Diese ungestörten Zustände besitzen alle dieselbe Energie E = –R/4, wobei R die Rydberg-Konstante ist (13,6 eV). Doch wenn Sie ein elektrisches Feld anlegen werden einige dieser Zustände ihre Energie verändern.

Wie sieht der durch das elektrische Feld ε verursachte Störterm des Hamilton-Operators aus? Er lautet:

Sie müssen also diese Gleichung für die verschiedenen Zustände auswerten. Was ergibt zum Beispiel der folgende Ausdruck, wenn 1| = 200| und |3 = |210 ist?

Sie haben die Wellenfunktionen für das ungestörte Wasserstoffatom bereits in Kapitel 9 berechnet. Allgemein lautet die Lösung für die Wellenfunktion ψ_nlm(r, θ, φ) für Wasserstoff:

Dabei sind die zugeordneten Laguerre-Polynome. Führt man die Mathematik aus, so erhält man das folgende Ergebnis, wobei a₀ der Bohr'sche Radius des Atoms ist:

1|H_s|3 ist natürlich nur einer der Terme, die Sie berechnen müssen. Die vollständige Matrix für den Störterm des Hamiltonoperators, die alle Zustände berücksichtigt, lautet:

wobei gilt.

Wenn man die Mathematik ausführt, erhält man folgendes bemerkenswert einfache Ergebnis:

Diagonalisiert man diese Matrix, so erhält man folgende Eigenwerte – die Korrektur erster Ordnung zu den ungestörten Energien:

Dabei ist die Korrektur erster Ordnung der Energie zur Eigenfunktion |1, die Korrektur erster Ordnung der Energie zur Eigenfunktion |2 usw. Addiert man diese Korrekturen zu den ungestörten Energien für den Zustand n = 2, erhält man die endgültigen Energieniveaus:

Dabei ist R die Rydberg-Konstante. Beachten Sie das Ergebnis: Das Anlegen eines elektrischen Feldes (Stark-Effekt) hebt die Energie-Entartung in |200 und |210 (den Eigenfunktionen |1 und |3) auf, aber die Entartung in |211 und |21 – 1 (den Eigenfunktionen |2 und |4) bleibt erhalten.