Nobelpreiswürdig: Nachdenken über Viel-Elektronen-Atome

Dieser Abschnitt beschäftigt sich damit, wie der Hamilton-Operator (siehe den vorangegangenen Abschnitt) für ein neutrales Viel-Elektronen-Atom aussieht. Ein Viel-Elektronen-Atom, wie in Abbildung 11.2 dargestellt, ist das in der Quantenphysik am häufigsten betrachtete Viel-Teilchen-System. R beschreibt den Ort des Kerns (relativ zum Massenschwerpunkt), r₁ gibt den Ort des ersten Elektrons an (relativ zum Massenschwerpunkt), r₂ den des zweiten usw.

 

Abbildung 11.2: Ein Viel-Elektronen-Atom

Wenn man Z Elektronen hat, wird die Wellenfunktion durch ψ(r₁, r₂, r₃, ..., r_z, R) beschrieben. Für die kinetische Energie der Elektronen und des Kerns gilt Folgendes:

Die potentielle Energie des Systems ist:

Wenn man diese beiden Gleichungen addiert, erhält man die Gesamtenergie (E = E_kin + E_pot) eines Viel-Elektronen-Atoms:

Das sieht nun allerdings ziemlich verworren aus. Wollen Sie den Nobelpreis in Physik gewinnen? Dann müssen Sie nur die Lösung der obigen Gleichung präsentieren. Für alle Viel-Teilchen-Systeme, in denen alle Teilchen miteinander wechselwirken, gilt, dass man diese Gleichung nicht in N unabhängige Gleichungen aufteilen kann.

Betrachtet man Viel-Teilchen-Systeme, in denen die N Teilchen nicht miteinander wechselwirken, so kann man die Schrödinger-Gleichung in einen Satz von N unabhängigen Gleichungen aufspalten und deren Lösungen finden. Wenn die Teilchen allerdings miteinander wechselwirken und die Schrödinger-Gleichung von dieser Wechselwirkung abhängig ist, so kann man sie nicht für eine größere Zahl von Teilchen lösen.

Das heißt allerdings nicht, dass alles verloren ist. Man kann immer noch eine Menge über Gleichungen wie diese sagen, wenn man geschickt ist. Am Besten beginnt man mit einer Prüfung der Symmetrie des Problems, was im folgenden Abschnitt erläutert wird.