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Viele identische Teilchen
In diesem Kapitel ...
Wellenfunktionen und Hamilton-Operatoren für
Viel-Teilchen-Systeme
Identische und unterscheidbare Teilchen
Symmetrische und antisymmetrische
Wellenfunktionen erkennen und erzeugen
Elektronenschalen und das Periodensystem der
Elemente
Wasserstoffatome (siehe Kapitel 9) enthalten nur ein Proton und ein Elektron, doch alle anderen Atome enthalten mehr als ein Elektron. Wie geht man also mit derartigen Atomen um? Und wie geht man überhaupt mit Viel-Teilchen-Systemen wie einem einfachen Gas um?
Im Allgemeinen kann man Aufgaben dieser Art
nicht berechnen – jedenfalls nicht exakt.
Stellen Sie sich allein die Komplexität der Bewegung von zwei
Elektronen in einem Heliumatom vor: Sie müssen nicht nur die
Wechselwirkung zwischen den Elektronen und dem Atomkern
berücksichtigen, sondern auch die der Elektronen untereinander.
Diese hängt natürlich von den jeweiligen Positionen ab. Demzufolge
enthält der Hamilton-Operator nicht nur die Ausdrücke
1/r1 für die potentielle Energie des
ersten Elektrons und 1/r2 für die des
zweiten Elektrons, sondern auch einen Term proportional zu
, der
die potentielle Energie beschreibt, die auf der Wechselwirkung
zwischen den beiden Elektronen beruht. Und das macht es unmöglich
eine exakte Wellenfunktion zu berechnen.
Allerdings gibt es verschiedene Möglichkeiten, um ein System mit mehreren Elektronen zu behandeln. Doch bevor man damit beginnt, sollte man sich bewusst sein, dass alle fundamentalen Teilchen der gleichen Art, wie etwa Elektronen und Photonen, ununterscheidbar sind. Es ist unmöglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen auf irgendeine Art so zu kennzeichnen, dass sich seine Identität sich an einem anderen Ort oder zu einem anderen Zeitpunkt feststellen lässt. Diese Tatsache hat fundamentale Folgen; sie führt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie bestimmen.
Demzufolge liegt der Schwerpunkt dieses Kapitels – neben einer Untersuchung von Systemen mit unterscheidbaren Teilchen – insbesondere in der Behandlung von Systemen mit identischen Teilchen. Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Viel-Teilchen-Systemen ist der Austauschoperator Pij, der im folgenden eingeführt wird. Mit seiner Hilfe kann man den Symmetriecharakter eines Systems beim Austausch von zwei Teilchen untersuchen. Dabei wird sich zeigen, dass man zwischen symmetrischen und antisymmetrischen Wellenfunktionen unterscheiden kann, was wiederum weitreichende Folgen hat.
Doch zunächst beginnt dieses Kapitel mit einer allgemeinen Einführung in die Problematik von Viel-Teilchen-Systemen.