Verstehen, wie sie funktionieren

Die Eigenvektoren eines hermiteschen Operators bilden einen vollständigen Satz von orthonormalen Vektoren – das ist eine vollständige Basis im Zustandsraum. Von dieser aus Eigenvektoren bestehenden »Eigenbasis« aus betrachtet, ist der Operator in der Matrixform diagonal, und die Elemente entlang der Diagonalen der Matrix sind die Eigenwerte.

Das ist einer der Hauptgründe dafür, warum das Arbeiten mit Eigenvektoren so nützlich ist. Ihr Ursprungsoperator mag wie folgt aussehen (Beachten Sie: Die Elemente eines Operators können auch Funktionen sein, nicht nur Zahlen):

Beim Wechsel in die Basis der Eigenvektoren des Operators diagonalisiert man die Matrix, sodass sie wieder vertrauter aussieht und man besser mit ihr arbeiten kann:

Sie können nun verstehen, warum das Wort »Eigen« Bestandteil des Wortes Eigenvektoren ist – diese bilden eine natürliche Basis für den Operator.

Sind zwei oder mehr Eigenwerte gleich, dann sagt man, dass die Eigenwerte entartet sind. Sind beispielsweise drei Eigenwerte gleich 6, dann ist der Eigenwert 6 dreifach entartet.

Hier folgt noch ein heißer Tipp: Wenn zwei hermitesche Operatoren A und B kommutieren und A keine entarteten Eigenwerte hat, so ist jeder Eigenvektor von A auch ein Eigenvektor von B. (Mehr über Kommutatoren findet sich in dem Abschnitt Vorwärts und Rückwärts: Kommutatoren bestimmen weiter vorne.)