Die Schrödinger-Gleichung zerlegen

Im Dreidimensionalen lautet die Schrödinger-Gleichung wie folgt:

wobei Δ der Laplace-Operator ist (in Kapitel 2 findet man mehr über Operatoren).

In rechtwinkligen Koordinaten lautet der Laplace-Operator:

In Kugelkoordinaten sieht er ein bisschen anders aus, aber das kann man später vereinfachen. Der sphärische Laplace-Operator lautet:

Dabei ist L² das Quadrat des Bahndrehimpulses:

Daher lautet die Schrödinger-Gleichung für ein Zentralpotential in Kugelkoordinaten wie folgt:

Betrachten Sie die letzte Gleichung genau. Der erste Term entspricht der radialen kinetischen Energie, also der kinetischen Energie des sich in radialer Richtung bewegenden Teilchens. Der zweite Term entspricht der kinetischen Rotationsenergie und der dritte der potentiellen Energie.

Was können Sie nun über die Lösung dieser Schrödinger-Gleichung sagen? Sie können erkennen, dass der erste Term nur von r abhängt, ebenso wie der dritte. Der zweite Term enthält dagegen L². Da Sie die Eigenfunktionen von L² bereits in Kapitel 6 bestimmt haben, können Sie an dieser Stelle folgenden Separationsansatz machen:

Somit kann man die Wellenfunktion ψ(r) = ψ(r,θ,φ) in zwei Teile separieren:

Einen radialen Teil.

Einen von den Winkeln abhängigen Teil.

Das ist eine besondere Eigenschaft von Problemen mit Zentralpotentialen.