Dreidimensionale rechtwinklige Potentiale

Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dreidimensionalen Kastenpotentialen; Abbildung 8.2 zeigt die Darstellung eines solchen Potentials. Nun sollen die Wellenfunktionen und die Energieniveaus für diesen Fall bestimmt werden.

Innerhalb des Kastens soll V(x, y, z) = 0 gelten, außerhalb V(x, y, z) = ∞. Man hat somit folgendes Potential:

V(x, y, z) = 0, wenn 0 < x < L_x, 0 < y < L_y, 0 < z < L_z

∞, sonst

Teilt man V(x,y,z) in V_x(x), V_y(y) und V_z(z), so erhält man:

V_x(x) = 0, wenn 0 < x < L_x
∞, sonst

V_y(y) = 0, wenn 0 < y < L_y
∞, sonst

V_z(z) = 0, wenn 0 < z < L_z
∞, sonst

 

Abbildung 8.2: Ein dreidimensionales Kastenpotential

Okay, da das Potential an den Wänden des Kastens gegen unendlich geht, muss die Wellenfunktion ψ(x, y, z) an diesen Stellen gegen null gehen; das sind die Randbedingungen. Im Dreidimensionalen sieht die Schrödinger-Gleichung folgendermaßen aus:

Schreibt man das aus, so erhält man:

Im Folgenden wird jede Dimension getrennt betrachtet. Da das Potential separierbar ist, kann man ψ(x, y, z) in der Form ψ(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z) schreiben. Innerhalb des Kastens ist das Potential null, und die Schrödinger-Gleichung für x, y und z lautet somit:

Im nächsten Schritt drückt man diese Gleichungen mithilfe der Wellenzahl k aus. Da gilt, erhält man folgende Gleichungen:

Zunächst wird die Gleichung für x betrachtet. Sie haben also eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zu behandeln: Die beiden unabhängigen Lösungen dieser Gleichung lauten:

wobei A und B noch zu bestimmen sind.

Die allgemeine Lösung von ist somit die Summe aus den beiden Gleichungen oben:

Großartig. Jetzt können Sie die Energieniveaus bestimmen.