Zusammenfügen der Lösungen für die Radialgleichung

Bringt man die Lösungen für sehr kleine und sehr große r zusammen, so erhält die Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung die Form , wobei f(r) eine bisher noch unbestimmte Funktion von r ist. Der nächste Punkt ist nun, die Funktion f(r) zu bestimmen. Das macht man, indem man diese Funktion in die radiale Schrödinger-Glei-chung einsetzt:

Führt man die Substitution durch, so erhält man die folgende Differentialgleichung:

Aufgrund der Erfahrung, die Sie in den vorangegangenen Kapiteln gesammelt haben, werden Sie sich auch von dieser komplexen Differentialgleichung nicht erschrecken lassen. Wie Sie richtig vermuten, können Sie sich auch in diesem Fall auf die Mathematik verlassen, die Ihnen einen Weg zur Lösung bietet. Diesmal ist es ein sogenannter Potenzreihenansatz oder eine Reihen-Entwicklung, die Ihnen die Lösung erleichtert.

Für f(r) lautet die Reihen-Entwicklung:

Setzt man diese Gleichung in die obere ein, so erhält man:

Wechselt man im zweiten Term den Index von k zu k – 1, so erhält man:

Da jeder Term in dieser Summe null sein muss, erhält man:

Teilt man durch r^k–2, ergibt sich:

Die Gleichung ist die Rekursionsformel der unendlichen Reihe Wenn man einen Koeffizienten kennt, kann man den nächsten mithilfe dieser Gleichung bestimmen. Aber was bringt Ihnen das? Betrachten Sie zum Beispiel das Verhältnis a_k/a^k–1:

Wenn k → ∞ geht, gilt für dieses Verhältnis:

Das ähnelt der Entwicklung von e^x, die folgendermaßen aussieht:

Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Glieder lautet hier:

Wenn k → ∞ geht, geht dieses Verhältnis gegen

Das ist der Fall für e^x. Für f(r) gilt:

Vergleicht man diese beiden Gleichungen, so gilt offensichtlich:

Die radiale Wellenfunktion R_nl(r) lautet:

Dabei ist .

Setzt man nun in ein, so erhält man folgende Gleichung:

Sind Sie nun überglücklich vor Freude? Nicht wirklich. Die Wellenfunktion lautet folgendermaßen: . Setzt man die obige Gleichung hier ein, erhält man:

Das sieht gut aus – abgesehen davon, dass es gegen unendlich geht, wenn r gegen unendlich geht. Sie erwarten eigentlich, dass ψ(r) null wird, wenn r gegen unendlich geht – demzufolge ist die Lösung R_nl(r) = r^l e^λr absolut unphysikalisch. Mit anderen Worten, irgendwo ist irgendetwas schiefgelaufen.