Systeme mit vielen unterscheidbaren Teilchen

Wenn Sie dieses Kapitel von Anfang an gelesen haben, wissen Sie jetzt etwas über den Austausch von Teilchen. Jetzt betrachten Sie ein System von Teilchen, die man unterscheiden kann, also ein System von erkennbar verschiedenen Teilchen. Wie Sie in diesem Abschnitt sehen werden, kann man solche Systeme entkoppeln und in linear unabhängige Gleichungen auflösen.

Stellen Sie sich vor, Sie haben ein System aus zahlreichen verschiedenen Raumschiffen, die im Raum treiben. Sie können all diese Raumschiffe unterscheiden, da sie alle verschieden sind – sie haben beispielsweise verschiedene Massen.

Jedes Raumschiff beeinflusst nur sein eigenes Potential; das bedeutet, dass das Potential jedes Raumschiffes nicht von den Potentialen der anderen Raumschiff abhängt. Folglich ist das Potential aller Raumschiffe die Summe aus den jeweiligen Potentialen der einzelnen Raumschiffe. Wenn man N Raumschiffe betrachtet, gilt für das Potential:

Wenn man die potentielle Energie, wie in diesem Fall, in eine Summe von unabhängigen Ausdrücken verwandeln kann, wird das Leben natürlich einfacher. Der Hamilton-Operator lautet dann folgendermaßen:

Diese Gleichung ist doch bedeutend einfacher als die für das Atom mit 7 Elektronen:

Beachten Sie, dass man die obige Gleichung für das Potential aller Raumschiffe in N verschiedene Gleichungen aufteilen kann:

Die Gesamtenergie ist dann die Summe der Energien der einzelnen Raumschiffe:

Und die Wellenfunktion ist das Produkt der Einzelfunktionen:

Dabei ist Π ein Zeichen wie Σ, nur dass es für das Produkt der dahinter stehenden Terme steht, nicht für ihre Summe; n_i weist auf alle Quantenzahlen für das i-te Teilchen hin.

Wenn die Teilchen, mit denen Sie arbeiten, unterscheidbar sind und voneinander unabhängige Potentiale besitzen, so wird das Rechnen mit ihnen einfacher, wie Sie in diesem Abschnitt gesehen haben. Man kann dann das System in N voneinander unabhängige Einteilchen-Systeme unterteilen. Die Gesamtenergie ist dann die Summe der jeweiligen Energien der einzelnen Teilchen. Die Schrödinger-Gleichung lässt sich in N verschiedene Gleichungen aufteilen. Und die Wellenfunktion ist schließlich ein Produkt aus den Wellenfunktionen der N verschiedenen Teilchen.

Betrachten wir ein Beispiel. Stellen Sie sich vor, Sie haben vier Teilchen mit unterschiedlicher Masse in einem Potentialtopf. Sie wollen die Energie und die Wellenfunktion des Systems bestimmen. Das Potential des Potentialtopfs lautet für jedes der nicht miteinander wechselwirkenden Teilchen wie folgt:

V_i(x_i) = 0 für 0 ≤ x_i ≤ a

V_i(x_i) = ∞ für x_i > a

V_i(x_i) = ∞ für x_i < 0

Somit lautet die Schrödinger-Gleichung:

Man kann diese Gleichung separieren, sodass man vier Einteilchen-Gleichungen erhält:

Dieses eindimensionale Problem wurde bereits in Kapitel 3 gelöst. Die Energieniveaus sind:

Und weil die Gesamtenergie die Summe der einzelnen Energien ist, gilt:

Im Grundzustand aller vier Teilchen gilt n₁ = n₂ = n₃ = n₄ = 1 und daher gilt für die Energie:

Für ein Teilchen in einem Potentialtopf lautet die Wellenfunktion für ein eindimensionales System:

Die Wellenfunktion für das Vier-Teilchen-System ist gerade das Produkt aus den einzelnen Wellenfunktionen und lautet:

Für den Grundzustand n₁ = n₂ = n₃ = n₄ = 1 lautet die Wellenfunktion beispielsweise:

Systeme mit N unabhängigen, unterscheidbaren Teilchen lassen oft Lösungen zu, wie Sie hier gesehen haben; man muss das System nur in N unabhängige Gleichungen aufteilen.