Das wichtigste von Kapitel 9 noch einmal in Kürze

In diesem Kapitel wurde die Bewegung von Teilchen in dreidimensionalen Zentralpotentialen ausführlich untersucht. Die charakteristische Eigenschaft eines Zentralpotentials besteht darin, dass das Potential V(r) nur vom Abstand |r| des Teilchens vom Kraftzentrum, nicht aber von der Richtung des Vektors r abhängt, der vom Zentrum zum Teilchen weist. In diesem Fall besitzt der Hamilton-Operator Kugelsymmetrie. Verwendet man Kugelkoordinaten, so lässt sich die Schrödinger-Gleichung in zwei unabhängige Gleichungen aufspalten.

Das bedeutet, dass man die Wellenfunktion als Produkt aus einer radiusabhängigen Funktion R_nl(r) und den Kugelflächenfunktionen Y_lm(θ, φ) darstellen kann:

Dabei ist n die Hauptquantenzahl, l die Drehimpulsquantenzahl und m die magnetische Quantenzahl.

Somit hat man die Lösung der Schrödinger-Gleichung auf die Lösung einer nur vom Abstand |r| abhängigen Differentialgleichung reduziert.

In den folgenden Abschnitten wurde die Wellenfunktion bzw. die Radialgleichung für verschiedene Beispiele untersucht. Dabei zeigte sich erneut der enge Zusammenhang zwischen der Quantenmechanik und der Mathematik. Auch in diesen Beispielen liefern aus der Funktionentheorie wohlbekannte Funktionen die Lösungen, die sphärischen Bessel- und Neumann-Funktionen.