13. Comedia logarítmica
Como complemento a las comedias matemáticas, que el lector tuvo ocasión de conocer en el capítulo V, presentamos un caso más del mismo género: la “demostración” de la desigualdad 2› 3. Esta vez interviene la logaritmación. La “comedia” empieza con la desigualdad
1 / 4› 1 / 8
que es completamente cierta. Después siguen las transformaciones
(1 / 2)2› (1 / 2)3
que tampoco inspira desconfianza. A un número mayor le corresponde un logaritmo también mayor; por lo tanto
Después de dividir ambos miembros de la desigualdad por log10(1/2), tenemos 2› 3.
¿Dónde está el error de esta demostración?
El error reside que al simplificar por log10 (1/2), el signo› no fue sustituido por ‹; entre tanto, era necesario hacerlo, por cuanto log10 es un número negativo. [Si no se hubieran aplicado los logaritmos vulgares, sino otros menores que ½ el log10 (1/2), hubiera sido positivo, aunque entonces no habríamos podido afirmar que a un número mayor corresponde un logaritmo también mayor.]
14. Expresar cualquier número tan sólo con tres doses
Terminemos el libro con un ingenioso rompecabezas algebraico que distrajo a los delegados de un congreso físico celebrado en Odessa.
Proponemos el siguiente problema: expresar cualquier número, entero y positivo, mediante tres doses y signos matemáticos.
Mostremos en un ejemplo la solución de este problema. Supongamos que el número dado es el 3. En este caso el problema se resuelve así:
Es fácil convencerse de la veracidad de tal igualdad.
En efecto:
Si el número dado fuera 5, resolveríamos el problema por los mismos procedimientos:
Se tiene presente que siendo la raíz cuadrada, se omite el índice de la misma.
La solución general del problema es como sigue: si el número dado es N, entonces:
Además, el número de radicales es igual al número de unidades del número dado.