13. Un cálculo muy laborioso

En la práctica del cálculo se encuentran operaciones matemáticas cuya realización sería extraordinariamente difícil si para ello no se aplicaran los métodos simplificadores del álgebra. Supongamos que sea necesario efectuar las siguientes operaciones:

(Este cálculo es necesario para establecer si la técnica relacionada con las velocidades de los movimientos de los cuerpos - pequeñas en comparación con la velocidad de la difusión de las ondas electromagnéticas - puede valerse de las antiguas leyes que regulan la suma de velocidades, sin tener en cuenta aquellos cambios que la teoría de la relatividad ha introducido en la mecánica. De acuerdo con la mecánica antigua, el cuerpo sometido a dos movimientos, efectuados en una misma dirección, con velocidades de v₁ y v₂ kilómetros por segundo, tiene una velocidad de (v_l + v₂) kilómetros por segundo. La nueva teoría aplica la siguiente fórmula para la velocidad de los cuerpos

kilómetros por segundo, donde c es la velocidad de difusión de la luz en el vacío, aproximadamente igual a 300 000 kilómetros por segundo. Un cuerpo sometido a dos movimientos, efectuados en una misma dirección, y a una velocidad de kilómetro por segundo cada uno, según la antigua mecánica desarrollaba 2 kilómetros por segundo de velocidad y, según la nueva,

¿Cuál es la diferencia entre esas dos fórmulas? ¿Es perceptible esa diferencia para los aparatos más sensibles de medición? A fin de aclarar esta importante cuestión es preciso realizar el cálculo indicado).

Empleemos dos métodos: primero, el aritmético, y después, mostremos cómo se puede efectuar mediante el álgebra. Basta con echar un vistazo a la larga serie de cifras que figuran más abajo para convencerse de la indiscutible superioridad del procedimiento algebraico.

En primer lugar transformemos el quebrado

Efectuamos ahora la división del numerador por el denominador:

Esta operación resulta agotadora y laboriosa, siendo muy fácil confundirse e incurrir en error, en tanto que para la solución del problema tiene mucha importancia saber con exactitud dónde termina el período del nueve y comienza el de otra cifra.

Compárese ahora con qué brevedad cumple su tarea el álgebra, valiéndose del siguiente planteamiento: si a es un quebrado muy pequeño, entonces

1/(1 + a) ≈ 1 - a

donde el signo ≈ significa “aproximadamente igual a”.

Es muy fácil convencerse de la veracidad de este aserto: comparemos el dividendo 1 con el producto del divisor por el cociente:

1 = (1 + a) · (1 - a)

es decir, 1 = 1 - a².

Como a es una fracción muy pequeña (por ejemplo 0,001), el valor de a² será todavía inferior (0,000001), pudiendo ser despreciado.

Apliquemos lo expuesto a nuestro cálculo ^[5]:

2 - 0.0000000000222… = 1.999999999777…

Se llega, pues, al mismo resultado, pero el procedimiento es mucho más corto.

(Quizás tenga interés el lector en conocer la importancia que reviste el resultado del problema. Por él se deduce que en virtud de la escasa magnitud de las velocidades examinadas - en comparación con la de la luz -, no se observa en la práctica ninguna desviación de la antigua ley de la suma de velocidades: esa desviación se pone de manifiesto sólo en la cifra undécima del número hallado, en tanto que las mediciones de longitud más exactas no rebasan la novena cifra, y en la práctica, la técnica se limita a 4 ó 6 cifras. En consecuencia, podemos afirmar sin ninguna reserva que la nueva mecánica, la de Einstein, no altera los cálculos técnicos relativos al movimiento “lento” de los cuerpos en el espacio (en comparación con la velocidad de difusión lumínica).

Pero existe una rama de la vida actual, donde esta conclusión incondicional hace falta tomarla con cuidado. Se trata de la cosmonáutica. Ahora hemos alcanzado ya las velocidades de 10 km por segundo (durante los vuelos de Sputniks y cohetes). En este caso la divergencia de la mecánica clásica y de la de Einstein se pone de manifiesto ya en la cifra novena. Hay que tener en cuenta qué velocidades mayores no están tan lejos.