11. Cantidad posible de partidas de ajedrez

Hagamos el cálculo más o menos exacto del número de partidas de ajedrez posibles. Como carece de sentido la determinación precisa, ofreceremos al lector un intento de determinar aproximadamente el número de partidas de ajedrez posibles. En el libro La matemática de los juegos y distracciones matemáticas, de M. Kraitchik, matemático belga, encontramos el siguiente cálculo:

“Al mover la primera pieza, las blancas tienen 20 jugadas a elegir (16 jugadas con los ocho peones, cada uno de los cuales puede avanzar un escaque o dos; y dos jugadas de cada caballo). A cada jugada de las blancas, las negras pueden contestar con cualquiera de esas variantes. Combinando cada movimiento de las blancas con cada uno de las negras tendremos 20 · 20 = 400 variantes después de la primera jugada por ambas partes.

Después del primer movimiento, el número de jugadas posibles es aún mayor. Si las blancas han movido, por ejemplo, e2 - e4, para la segunda jugada, tienen ya 29 variantes a elegir. En lo sucesivo, el número de jugadas posibles es todavía mayor. Tan sólo la reina, encontrándose, por ejemplo, en el escaque d5, puede hacer 27 movimientos (suponiendo que todas las casillas donde puede ir estén libres). Sin embargo, para simplificar el cálculo, nos atendremos a las siguientes cifras medias: 20 variantes para cada una de las partes en las primeras cinco jugadas; 30 variantes para cada parte en todas las demás jugadas.

Admitamos, además, que el total de jugadas en una partida normal, como término medio, sea 40. Partiendo de este supuesto, las partidas posibles serán:

(20 · 20)5 · (30 · 30)³⁵

Para determinar la magnitud aproximada de esta expresión nos valdremos de las siguientes transformaciones y simplificaciones:

(20 · 20)⁵ · (30 · 30)³⁵ = 20¹⁰ · 30⁷⁰ = 2¹⁰ · 3⁷⁰ · 10⁸⁰.

Sustituyamos 2¹⁰ por 1 000, que es una magnitud parecida, es decir, por 10³.

Presentamos la potencia 310 en la forma que sigue:

3⁷⁰ = 3⁶⁸ · 3² ≈ 10 · (34)¹⁷ ≈ 10 · 80¹⁷ = 10 · 8¹⁷ · 10¹⁷ = 2⁵¹ · 10¹⁸ =

= 2 · (2¹⁰)⁵ · 10¹⁸ ≈ 2 · 10¹⁵ · 10¹⁸ = 2 · 10³³

por consiguiente,

(20 · 20)⁵ · (30 · 30)³⁵ ≈ 10³ · 2 · 10³³ · 10⁸⁰ = 2 · 10¹¹⁶.

Este número deja muy atrás a la consabida cantidad de granos de trigo pedida como premio por la invención del ajedrez (264 - 1 ≈ 18 · 10¹⁸). Si toda la población del globo terrestre jugara al ajedrez el día entero, moviendo una pieza cada segundo, para agotar todas las posibles partidas de ajedrez, ese juego general y permanente duraría ¡no menos de 10¹⁰⁰ siglos!”