2. Algebra en papel cuadriculado

A pesar de que este problema de progresiones tiene ya 50 siglos de antigüedad, en la práctica escolar, la progresión apareció hace relativamente poco tiempo. Aunque en el manual de Magnitski, publicado hace doscientos años y empleado en Rusia durante medio siglo como texto en las escuelas, se tratan las progresiones, no se dan fórmulas generales que relacionen las magnitudes que figuran en las mismas.

Figura 34

Por esa razón, el propio autor sale airoso de esos problemas sólo a costa de grandes esfuerzos. Y, sin embargo, la fórmula de la suma de los miembros de la progresión aritmética puede deducirse por un medio sencillo y gráfico, empleando para ello el papel cuadriculado. En éste, cualquier progresión aritmética puede expresarse con una figura escalonada.

Por ejemplo, la figura ABDC, de la fig. 34 representa la progresión:

2; 5; 8; 11; 14.

Para determinar la suma de los miembros completamos el diseño hasta formar el rectángulo ABGE y obtendremos dos figuras iguales: ABDC y DGEC. La superficie de cada una representa la suma de los miembros de nuestra progresión. De ahí que la doble suma de los miembros es igual a la superficie del rectángulo ABGE, es decir:

(AC+CE) * AB.

Pero AC + CE expresa la suma de los miembros 1° y 5° de la progresión; AB representa el número de miembros de la progresión, por eso, el doble de la suma.

2S = (suma del primero y el último) x (número de términos)

ó:

S = (suma del primero y el último) x (número de términos)/2