8. Las vacas en el prado

“Al estudiar las ciencias, los ejercicios son más útiles que las reglas”, escribía Newton en su Aritmética Universal, y acompañaba las indicaciones teóricas con una serie de ejemplos.

Entre ellos hallamos el de los toros que pastan en el prado, que generó un tipo específico de problemas semejantes a éste:

“La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días, y 30, en 60 días. ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días?”.

Este problema sirvió de argumento para un cuento humorístico, que recuerda el Maestro particular de Chejov. Dos adultos, familiares del escolar a quien habían encargado resolver este problema, se esforzaban inútilmente por hallar su solución y se asombraban:

- ¡Qué extraño es el resultado! - dijo uno -. Si en 24 días 70 vacas se comen la hierba, entonces, ¿cuántas vacas se la comerán en 96 días? Claro que 1/4 de 70, es decir, 17 1/2 vacas… ¡Este es el primer absurdo! El segundo todavía más extraño, es que si 30 vacas se comen la hierba en 60 días, en 96 se la comerán 18 3/4 vacas. Además, si 70 vacas se comen la hierba en 24 días, 30 vacas emplean en ello 56 días, y no 60, como afirma el problema.

- ¿Pero tiene usted en cuenta que la hierba crece sin cesar? - preguntó otro.

La observación era razonable; la hierba crece incesantemente, circunstancia que no puede echarse en olvido, pues en ese caso no sólo no puede resolverse el problema, sino que sus mismas condiciones parecerán contradictorias.

¿Cómo debe resolverse pues, el problema?

Introduzcamos también aquí una segunda incógnita, que representará el crecimiento diario de la hierba, expresado en partes de las reservas de la misma en el prado. En una jornada hay un crecimiento de y; en 24 días será 24y. Si tomamos todo el pasto como 1, entonces, en 24 días las vacas se comerán

1 + 24y.

En una jornada las 70 vacas comerán

(1 + 24y) / 24

y una vaca (de las 70) comerá

(1 + 24y) / (24 · 70)

Siguiendo el mismo razonamiento: si 30 vacas acaban con toda la hierba del prado en 60 días, una vaca comerá en un día

1 + 60y / (30 · 60)

Pero la cantidad de hierba comida por una vaca en un solo día es igual para los dos rebaños.

Por eso

(1 + 24y) / (24 · 70) = (1 + 60y) / (30 · 60)

de donde

y = 1 / 480

Cuando se halla y (medida de crecimiento) es ya fácil determinar qué parte de la reserva inicial se come una vaca al día

(1 + 24y) / (24*70) = (1 + 24/480) / (24*70) = 1 / 1600

Por último establecemos la ecuación para la solución definitiva del problema: si el número de vacas es x, entonces,

{1 + (96 / 480)} / 96x = 1600

de donde x = 20

20 vacas se comerían toda la hierba en 96 días.