5. El problema de Euler

Al referirse Stendhal en su Autobiografía a sus años de estudiante, escribe lo siguiente:

“En su casa (la de su maestro de matemáticas) encontré a Euler con su problema acerca de los huevos que la campesina llevaba al mercado… Esto fue para mí un descubrimiento.

Comprendí lo que significaba valerse de un arma como el álgebra. Pero ¡demonios!, nadie me lo había explicado antes…”

He aquí el problema de la Introducción al álgebra, de Euler que tan fuerte impresión produjera en Stendhal.

Dos campesinas llevaron en total 100 huevos al mercado. Una de ellas tenía más mercancía que la otra, pero recibió por ella la misma cantidad de dinero que la otra. Una vez vendidos todos, la primera campesina dijo a la segunda: “si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos que tú, habría recibido 15 cruceros”. La segundo contestó: “Y si yo hubiera vendido los huevos que tenías tú habría sacado de ellos 6 2/3, cruceros”. ¿Cuántos huevos llevaron cada una?

Supongamos que la primera campesina tenía x huevos. La segunda tendría 100 - x. Si la primera hubiera tenido 100 - x habría sacado de ellos 15 cruceros. Eso quiere decir que la primera campesina vendió los huevos

De esta manera vemos que la segunda campesina vendió los huevos a

Hallemos ahora la cantidad obtenida por cada campesina:

la primera:

la segunda

Y como ambas recibieron lo mismo, entonces

que después de las correspondientes transformaciones resultará

x² + 160x - 8000 = 0,

de donde

x₁ = 40, x₂ = -200.

La raíz negativa carece de sentido en el presente caso. El problema no tiene más que un resultado: la primera campesina llevó al mercado 40 huevos y la segunda 60.

El problema puede resolverse con más brevedad. El procedimiento es más ingenioso, aunque más difícil.

Supongamos que la segunda campesina llevó al mercado k huevos más que la primera.

Ambas recibieron por su mercancía la misma suma de dinero.

Esto significa que la primera vendió los huevos k veces más caros que la segunda. Si hubieran cambiado la mercancía, la primera campesina hubiera tenido k veces más huevos que la segunda y los habría vendido k' veces más caros, recibiendo k² más dinero que aquélla. Por lo tanto tendremos:

k² = 15 / 6 2/3 = 45 /20 = 9/4

de donde resulta que

k = 3 / 2

Ahora no nos queda más que dividir los 100 huevos proporcionalmente a 3 y a 2. La primera campesina llevó 40 huevos y la segunda, 60.