6. Venta de pollos

Tres hermanas fueron a vender pollos al mercado. Una llevó 10 pollos; otra, 16, y la tercera, 26. Hasta el mediodía, las tres habían vendido al mismo precio una parte de los pollos.

Después del mediodía, temiendo que no pudieran desprenderse de todos los pollos, bajaron el precio vendiendo los que les quedaban al mismo precio. Las tres hermanas regresaron a casa con igual cantidad de dinero, obtenida de la venta de las aves, con 35 rublos cada una.

¿A qué precio vendieron los pollos antes y después del mediodía?

Representemos el número de pollos vendidos por cada una de las hermanas hasta el mediodía con x, y y z. Después del mediodía vendieron 10 - x, 16 - y y 26 - z pollos. El precio que rigió por la mañana lo expresamos con m, y el de la tarde, con n. Para mayor claridad confrontemos estas expresiones:

La primera hermana obtuvo:

mx + n (10 - x); por consiguiente, mx + n (10 - x)= 35

la segunda:

my + n (16 - y); por lo tanto, my - r - n (16 - y)= 35

la tercera:

mz + n (26 - z); de aquí que, mz + n (26 - z) = 35.

Transformemos estas tres ecuaciones:

Restando de la tercera ecuación la primera, y después la segunda, obtendremos sucesivamente:

o lo que es lo mismo

Dividimos la primera por la segunda:

Como x, y, z son números enteros, las diferencias x - z, y - z son también números enteros.

Por esta razón, para que se produzca la igualdad

es preciso que x - z se divida por 8, e y - z, por 5. Por lo tanto,

de donde

x = z + 8t

y = z + 5t

Observemos que el número t, además de entero, es también positivo, por cuanto x› z (en caso contrario, la primera hermana no hubiera podido conseguir tanto dinero como la tercera).

Como x ‹10, z + 8t ‹10.

Al ser z y t números enteros y positivos, la última desigualdad puede ser satisfecha sólo en el caso en que z = 1 y t = 1. Sustituyendo estos valores en

x = z + 8t

y = z + 5t

resulta que x = 9, y = 6.

Si en las ecuaciones

mx + n (10 - x) = 35,

my + n (16 - y) = 35,

mz + n (26 - z) = 35

sustituimos los valores de x, y, y z, ya conocidos, tendremos el precio por el que han sido vendidos los polluelos:

m = 3 ¾ rublos y n = 1 ¼ rublos

Hasta el mediodía, los polluelos fueron vendidos, como hemos visto, a 3 rublos 75 kopeks; después del mediodía, a 1 rublo 25 kopeks.