3. Compra de sellos de correos

Se dispone de 1 rublo para comprar 40 sellos de correos: de 1, 4 y 12 kopeks. ¿Cuántos sellos de cada uno de estos precios deberán comprarse?

En este caso tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas:

x + 4y + 12z =100,

x + y + z = 40,

donde x es el número de sellos de 1 kopek; y, el de 4 kopeks, y z, el de 12 kopeks.

Restando de la primera ecuación la segunda, obtendremos una ecuación con dos incógnitas:

3y + 11z = 60

Despejemos la y:

y = 20 - 11 x z/3

Es evidente que 3 es un número entero. Indiquémosle con la t. Tenemos:

y = 20 - 11t

z = 3t

Sustituyamos la y y la z en la segunda de las ecuaciones iniciales:

x + 20 - 11t + 3t = 40;

de aquí que

x = 20 + 8t

Como x 0, y 0 y z 0, no es difícil establecer los límites de t:

0 t 19/11

de donde se deduce que para t son posibles sólo dos valores enteros: t = 0 y t = 1.

Los valores correspondientes de x, y y z son:

t = 0 ó 1

x = 20 ó 28

y = 20 ó 9

z = 0 ó 3

Prueba:

y = 20 x 1 + 20 x 4 + 0 x 12 = 100

z = 28 x 1 + 9 x 4 + 3 x 12 = 100

En la compra de sellos, como vemos, son posibles dos variantes (si van a exigir que se compre aunque sea un solo sello de cada valor, es posible una sola variante).

Pasemos al segundo problema de este mismo tipo.