1. La progresión más antigua

El problema de progresiones más antiguo no es el de la recompensa al inventor del ajedrez, que tiene ya más de dos mil años, sino otro mucho más viejo, repartición del pan, registrado en el célebre papiro egipcio de Rind.

Este papiro, hallado por Rind a fines del siglo pasado, fue escrito unos 2.000 años antes de nuestra era y constituye una copia de otra obra matemática aún más remota que data seguramente del tercer milenio antes de nuestra era.

Entre los problemas aritméticos, algebraicos y geométricos que figuran en dicho documento aparece el que transmitimos en traducción libre.

Entre cinco personas se repartieron cien medidas de trigo, de tal suerte que la segunda recibió más que la primera tanto como le correspondió a la tercera más que a la segunda, a la cuarta más que a la tercera y a la quinta más que a la cuarta. Además, las dos primeras obtuvieron siete veces menos que las tres restantes. ¿Cuánto correspondió a cada una?

Es evidente que las cantidades de trigo distribuidas entre los cinco participantes en el reparto constituyen una progresión aritmética creciente. Supongamos que el primer miembro sea x, y la diferencia, y.

Figura 33

En ese caso tendremos:

Parte de la 1ª: x

Parte de la 2ª: x + y

Parte de la 3ª: x + 2 y

Parte de la 4ª: x + 3 y

Parte de la 5ª: x + 4 y

De acuerdo con las premisas del problema establecemos estas dos ecuaciones:

x + (x + y) + (x + 2y) + (x + 3y) + (x + 4y) = 100,

7[x + (x + y)] = (x + 2y) + (x + 3y) + (x + 4y)

Después de su simplificación, la primera ecuación será

x + 2 y = 20,

y la segunda:

11 x = 2y.

Al resolver este sistema resultará

x = 1 2/3, y = 9 1/6

Por consiguiente, el trigo debe ser repartido en las siguientes proporciones:

1 2/3, 10 5/6, 29 1/6, 38 1/3