4. “Números” infinitos
Existen también grupos de números con mayor cantidad de cifras que, al figurar al final de los mismos, se conservan también en su multiplicación. El número de tales grupos de cifras es infinitamente grande.
Conocemos ya dos grupos compuestos de dos cifras, que poseen propiedad análoga: el 25 y el 76. Para encontrar grupos semejantes con tres cifras hay que colocar delante del 25 o del 76 una cifra tal que nos dé un grupo de tres guarismos con la misma propiedad.
¿Qué cifra se debe colocar ante el 76? E x presémosla con k. En este caso, el número buscado de tres cifras será:
100k + 76
La expresión común para todo número que termine en este grupo de cifras deberá ser:
1.000a + 100k + 76, 1.000b + 100k + 76, etc.
Multipliquemos dos números de este tipo entre sí y tendremos:
1.000.000ab + 100.000ak + 100.000bk + 76.000a +
+ 76.000b + 10.000k2. + 15.200k + 5.776
Todos los sumandos, menos los dos últimos, terminan, por lo menos, en tres ceros. Por esto, el resultado acaba en 100k + 76 si la diferencia
15.200k + 5.776 - (100k + 76) = 15.100k + 5.700 =
= 15.000k + 5.000 + 100 (k + 7)
se divide por 1.000. Esto, evidentemente, ocurrirá cuando k sea igual a 3. Así pues, el grupo de cifras buscado es 376. A esto se debe que toda potencia de 376 termine en dicho número. Por ejemplo:
3762 = 141.376.
Si nos interesa hallar un grupo de cuatro cifras que tenga la misma propiedad, debemos colocar delante de 376 una cifra más. Si e x presamos esta cifra con L, se nos planteará el siguiente problema: ¿cuál debe ser la cifra L para que la multiplicación
(10.000a + 1000L + 376)x (10.000b + 1.000L + 376)
termine en 1.000L + 376? Si abrimos los paréntesis de esta multiplicación y prescindimos de todos los factores que terminan en cuatro ceros o más, nos quedará
752.000L + 141.376
La multiplicación termina con 1.000L + 376 si la diferencia
752.000L + 141.376 - (1.000L + 376) =
= 751.000L + 141.000 =
= (750.000L + 140.000) + 1.000x (L + 1)
se divide por 10.000. Esto, sin duda, tendrá lugar solamente cuando L sea igual a 9.
El grupo de cuatro cifras buscado será 9.376.
El grupo obtenido puede ser completado con una cifra más, para lo cual es preciso seguir idéntico razonamiento. Obtendremos 09.376. Si damos un paso más hallaremos el grupo de cifras 109.376 y, después, 7.109.376, etc. Una tal adición de cifras a la izquierda del número puede ser efectuada infinita cantidad de veces. En consecuencia obtendremos un “número” con infinidad de cifras:
…7.109.376.
Tales “cifras” pueden ser sumadas y multiplicadas de acuerdo con las reglas comunes: como se sabe, escríbense de derecha a izquierda, y en este mismo sentido se suman y multiplican los números “en columna”; por lo cual en la suma y en la multiplicación de dos de estos números se puede operar sucesivamente con todas las cifras que se quieran.
Y lo más interesante, por muy raro que parezca, es que ese número infinito satisface la ecuación:
x 2 = x
Y así es, en efecto; el cuadrado de este “número” (es decir, el resultado de multiplicarse por sí mismo) termina en 76 ya que cada uno de los factores termina en 76; por esa misma causa, el cuadrado del “número” escrito acaba en 376, en 9.376, etc.
Es decir, operando sucesivamente con cada una de las cifras del “número” x 2, donde x =… 7. 109.376, obtendremos las mismas cifras que teníamos con el número x , por lo cual, x 2 = x .
Hemos examinado grupos de cifras que terminan en 76 [1]. Si se aplica el mismo razonamiento para grupos de cifras terminados en 5 obtendremos los siguientes grupos de cifras:
5, 25, 625, 0 625, 90 625, 890 625, 2 890 625, etc.
Por ello podemos escribir otro “número” infinito:
2.890.625,
que también satisface la ecuación x 2 = x . Podríamos demostrar que este “número” infinito es “igual” a
(((52)2)2)2)…
El interesante resultado obtenido en el idioma de los “números” infinitos se formula de esta manera: la ecuación x 2 = x tiene (además de x = 0, x = 1), otras dos raíces “infinitas”
x =… 7.109.376
y
x =… 2.890.625;
sin ninguna otra solución (en el sistema de base diez) [2]